Построй график функции
{
y
=
−
x
2
,
если
∣
x
∣
≤
1
,
y
=
∣
x
∣
−
2
,
если
∣
x
∣
>
1
{
y=−x
2
,если∣x∣≤1,
y=∣x∣−2,если∣x∣>1
и определи, при каких значениях
m
m функция
y
=
m
y=m имеет с графиком ровно три общие точки.
Чтобы нарисовать график функции, разберем ее по частям:
1. **Для \(|x| \leq 1\)**:
\(y = -x^2\). Это парабола, открытая вниз с вершиной в точке (0, 0). На промежутке [-1, 1] она принимает значения от 0 до -1 (входя в точку (1, -1) и (-1, -1)).
2. **Для \(|x| > 1\)**:
\(y = |x| - 2\). Это линейная функция, которая имеет два линейных участка:
- При \(x > 1\), \(y = x - 2\).
- При \(x < -1\), \(y = -x - 2\).
Линейная функция с наклоном 1 для \(x > 1\) будет проходить через точку (1, -1) и подниматься вверх, а для \(x < -1\) - с наклоном -1, проходя через (-1, -1) и опускаясь вниз.
На графике это будет выглядеть следующим образом:
- Отмечаем точку (0,0) и строим параболу вниз до (-1, -1) и (1, -1).
- Затем строим линейную часть для \(x > 1\) (линию, начиная с точки (1, -1) и далее вверх).
- И линейную часть для \(x < -1\) (линию, начиная с точки (-1, -1) и далее вниз).
Теперь, чтобы найти значения \(m\), при которых линия \(y = m\) пересекает график функции в трех точках, рассмотрим два случая:
- Если \(m < -1\): Линия пересечет параболу в двух точках, и затем пересечет линейную часть, что даст три точки пересечения (по одной на каждой из линейной части).
- Если \(m = -1\): Линия будет касаться параболы в точках (-1, -1) и (1, -1), но не пройдет дальше. Получаем только два касательных пересечения.
- Если \(-1 < m < 0\): Линия опять пересечет параболу в двух точках, и также линейную часть, что даст три пересечения.
- Когда \(m = 0\), линия касается параболы в точке (0, 0), на этот раз нет пересечения с линейной частью.
- Если \(m > 0\): здесь не будет пересечений с параболой, только единственное пересечение с линейной частью, соответственно получится 1 точка.
Таким образом, \(m\) должен удовлетворять условиям:
\[
m < -1 \quad \text{или} \quad -1 < m < 0
\]
Итак, функция \(y=m\) будет пересекаться с графиком исходной функции ровно в трех точках, если \(m < -1\) или \(-1 < m < 0\).
