Для решения задачи мы используем уравнение состояния идеального газа и формулу для средней квадратичной скорости молекул газа.
- Уравнение состояния идеального газа:
[
PV = nRT
]
где:
- ( P ) — давление,
- ( V ) — объем,
- ( n ) — количество вещества (в молях),
- ( R ) — универсальная газовая постоянная (( R \approx 8.31 , \text{Дж/(моль·К)} )),
- ( T ) — температура в кельвинах.
- Средняя квадратичная скорость:
[
v_{ср.кв.} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}
]
где:
- ( v_{ср.кв.} ) — средняя квадратичная скорость;
- ( M ) — молярная масса газа в кг/моль.
Теперь, используя соотношение между молярной массой, массой и количеством вещества:
[
n = \frac{m}{M}
]
где ( m = 1 , \text{кг} ).
Подставляя ( n ) в уравнение состояния идеального газа, получаем:
[
PV = \frac{m}{M} RT \implies V = \frac{mRT}{PM}
]
Теперь нам нужна молярная масса. Мы можем определить молярную массу ( M ) из формулы для средней квадратичной скорости:
[
600 = \sqrt{\frac{3RT}{M}} \implies M = \frac{3RT}{600^2}
]
Теперь нам необходимо найти температуру ( T ). Мы можем из уравнения для ( M ):
Сначала найдём ( M ). Подставляем выражение для ( V ):
[
M = \frac{3R T}{600^2}
]
Подставляем это значение в уравнение для объема:
[
V = \frac{mRT}{P \cdot \left( \frac{3RT}{600^2} \right)} = \frac{m \cdot 600^2}{3P}
]
Теперь подставим известные параметры:
- ( P = 2 \times 10^5 , \text{Па} )
- ( m = 1 , \text{кг} )
Находим объем:
[
V = \frac{1 \cdot 600^2}{3 \cdot (2 \times 10^5)}
]
Теперь считаем:
[
600^2 = 360000
]
[
V = \frac{360000}{6 \times 10^5} = \frac{360000}{600000} = 0.6 , \text{м}^3
]
Таким образом, объем газа составляет 0.6 м³.
