Типовой расчет по теме "Метод координат в пространстве" ЗАДАНИЯ 1. Найдите координаты вектора АВ. Укажите координаты противоположного ему вектора. 2. Напишите разложение вектора…

Для выполнения заданий по теме "Метод координат в пространстве", давайте решим каждую задачу по очереди, используя координаты заданных точек.

Данные точки:

• \( A(1, -1, 4) \)
• \( B(1, 2, 5) \)
• \( C(-2, -1, 5) \)
• \( P(2, -2, 8) \)
• \( F(-3, 4, \sqrt{15}) \)
• \( A_{ед. рабочая} = 10 \)
• \( n = 6 \)

1. Найдите координаты вектора \( AB \) и укажите координаты противоположного ему вектора.

Вектор \( AB \) вычисляется по формуле:

\[ \vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} \]

\[ \vec{AB} = (1 - 1, 2 - (-1), 5 - 4) = (0, 3, 1) \]

Противоположный вектор \( -\vec{AB} \):

\[ -\vec{AB} = (0, -3, -1) \]

2. Напишите разложение вектора \( BC \) по векторам \( i, j, k \).

Вектор \( BC \) вычисляется следующим образом:

\[ \vec{BC} = \vec{C} - \vec{B} \]

\[ \vec{BC} = (-2 - 1, -1 - 2, 5 - 5) = (-3, -3, 0) \]

Разложение вектора \( \vec{BC} \):

\[ \vec{BC} = -3\vec{i} - 3\vec{j} + 0\vec{k} \]

3. Найдите координаты векторов \( m = \vec{AB} - \vec{CA} \) и \( m = \vec{AB} + \vec{ap} \).

Для вектора \( \vec{CA} \):

\[ \vec{CA} = \vec{A} - \vec{C} = (1 - (-2), -1 - (-1), 4 - 5) = (3, 0, -1) \]

Теперь можем найти вектор \( m = \vec{AB} - \vec{CA} \):

\[ m = (0, 3, 1) - (3, 0, -1) = (-3, 3, 2) \]

Или \( m = \vec{AB} + \vec{ap} \):

Сначала найдем \( \vec{aP} \):

\[ \vec{AP} = \vec{P} - \vec{A} = (2 - 1, -2 - (-1), 8 - 4) = (1, -1, 4) \]

Теперь находим \( m \):

\[ m = (0, 3, 1) + (1, -1, 4) = (1, 2, 5) \]

4. Вычислите длину вектора \( m \).

Длина вектора \( m = (-3, 3, 2) \):

\[ |m| = \sqrt{(-3)^2 + (3)^2 + (2)^2} = \sqrt{9 + 9 + 4} = \sqrt{22} \]

5. ВК - медиана треугольника АВС. Найдите ее длину.

Координаты середины \( BC \):

\[ M = \left(\frac{x_B + x_C}{2}, \frac{y_B + y_C}{2}, \frac{z_B + z_C}{2}\right) = \left(\frac{1 + (-2)}{2}, \frac{2 + (-1)}{2}, \frac{5 + 5}{2}\right) = \left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 5\right) \]

Теперь найдём длину медианы \( AM \):

\[ AM = \sqrt{\left(1 - \left(-\frac{1}{2}\right)\right)^2 + \left(-1 - \frac{1}{2}\right)^2 + (4 - 5)^2} \]

\[ AM = \sqrt{\left(1 + \frac{1}{2}\right)^2 + \left(-\frac{3}{2}\right)^2 + (-1)^2} = \sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2 + \left(-\frac{3}{2}\right)^2 + 1} \]

\[ AM = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{9}{4} + 1} = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{4}{4}} = \sqrt{\frac{13}{4}} = \frac{\sqrt{13}}{2} \]

6. Найдите координаты точки \( P \), пересечения медиан треугольника \( ABC \).

Координаты центра масс (барицентр) треугольника:

\[ G = \left(\frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \frac{y_A + y_B + y_C}{3}, \frac{z_A + z_B + z_C}{3}\right) = \left(\frac{1 + 1 - 2}{3}, \frac{-1 + 2 - 1}{3}, \frac{4 + 5 + 5}{3}\right) \]

\[ G = \left(\frac{0}{3}, \frac{0}{3}, \frac{14}{3}\right) = \left(0, 0, \frac{14}{3}\right) \]

7. Вычислите косинус угла \( C \).

Для нахождения косинуса угла между векторами \( AB \) и \( AC \), необходимо сначала вычислить вектор \( AC \):

\[ \vec{AC} = \vec{C} - \vec{A} = (-2 - 1, -1 - (-1), 5 - 4) = (-3, 0, 1) \]

Теперь находим скалярное произведение \( \vec{AB} \cdot \vec{AC} \):

\[ \vec{AB} \cdot \vec{AC} = (0)(-3) + (3)(0) + (1)(1) = 0 + 0 + 1 = 1 \]

Длину векторов:

\[ |\vec{AB}| = \sqrt{0^2 + 3^2 + 1^2} = \sqrt{0 + 9 + 1} = \sqrt{10} \] \[ |\vec{AC}| = \sqrt{(-3)^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 0 + 1} = \sqrt{10} \]

Косинус угла \( C \):

\[ \cos C = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| |\vec{AC}|} = \frac{1}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{10}} = \frac{1}{10} \]

8. Найдите площадь треугольника \( ABC \).

Площадь треугольника можно найти по формуле:

\[ S = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}| \]

Сначала найдем векторное произведение:

\[ \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & 3 & 1 \\ -3 & 0 & 1 \end{vmatrix} \]

\[ = \vec{i} \left(3 \cdot 1 - 0 \cdot 1\right) - \vec{j} \left(0 \cdot 1 - (-3) \cdot 1\right) + \vec{k} \left(0 \cdot 0 - (-3) \cdot 3\right) \]

\[ = 3\vec{i} - 3\vec{j} + 9\vec{k} \]

Теперь найдем длину этого вектора:

\[ |\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{3^2 + (-3)^2 + 9^2} = \sqrt{9 + 9 + 81} = \sqrt{99} = 3\sqrt{11} \]

Площадь треугольника:

\[ S = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}| = \frac{1}{2} \cdot 3\sqrt{11} = \frac{3\sqrt{11}}{2} \]

9. Под каким углом к линии перемещения направлена сила \( F \), если на прямолинейном пути от точки \( A \) до точки \( B \) совершили 4 ед. работы?

Работа \( A = F \cdot d \cdot \cos(\phi) \):

Где \( d \) - расстояние между точками \( A \) и \( B \):

\[ d = |\vec{AB}| = \sqrt{0^2 + 3^2 + 1^2} = \sqrt{10} \]

Работа равна 4:

\[ 4 = F \cdot d \cdot \cos(\phi) \quad (1) \]

Теперь величина силы \( F \):

\[ F = |\vec{F}| = \sqrt{(-3)^2 + 4^2 + (\sqrt{15})^2} = \sqrt{9 + 16 + 15} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} \]

Теперь подставим в уравнение (1):

\[ 4 = 2\sqrt{10} \cdot \sqrt{10} \cdot \cos(\phi) \]

\[ 4 = 20 \cdot \cos(\phi) \implies \cos(\phi) = \frac{4}{20} = \frac{1}{5} \]

Угол \( \phi \):

\[ \phi = \arccos\left(\frac{1}{5}\right) \]

10. Определить количество снарядов, необходимое для полного разрушения цели, если известно, что для полного разрушения 1 кв. единицы площади цели необходимо \( n \) снарядов.

Площадь треугольника \( ABC \):

\[ S = \frac{3\sqrt{11}}{2} \]

С количеством снарядов:

\[ N = n \cdot S = 6 \cdot \frac{3\sqrt{11}}{2} = 9\sqrt{11} \]

Таким образом, ответ на все вопросы по заданной задаче готов. Если у вас есть дополнительные вопросы или уточнения, не стесняйтесь спрашивать!