Для выполнения заданий по теме "Метод координат в пространстве", давайте решим каждую задачу по очереди, используя координаты заданных точек.
Данные точки:
- ( A(1, -1, 4) )
- ( B(1, 2, 5) )
- ( C(-2, -1, 5) )
- ( P(2, -2, 8) )
- ( F(-3, 4, \sqrt{15}) )
- ( A_{ед. рабочая} = 10 )
- ( n = 6 )
1. Найдите координаты вектора ( AB ) и укажите координаты противоположного ему вектора.
Вектор ( AB ) вычисляется по формуле:
[
\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A}
]
[
\vec{AB} = (1 - 1, 2 - (-1), 5 - 4) = (0, 3, 1)
]
Противоположный вектор ( -\vec{AB} ):
[
-\vec{AB} = (0, -3, -1)
]
2. Напишите разложение вектора ( BC ) по векторам ( i, j, k ).
Вектор ( BC ) вычисляется следующим образом:
[
\vec{BC} = \vec{C} - \vec{B}
]
[
\vec{BC} = (-2 - 1, -1 - 2, 5 - 5) = (-3, -3, 0)
]
Разложение вектора ( \vec{BC} ):
[
\vec{BC} = -3\vec{i} - 3\vec{j} + 0\vec{k}
]
3. Найдите координаты векторов ( m = \vec{AB} - \vec{CA} ) и ( m = \vec{AB} + \vec{ap} ).
Для вектора ( \vec{CA} ):
[
\vec{CA} = \vec{A} - \vec{C} = (1 - (-2), -1 - (-1), 4 - 5) = (3, 0, -1)
]
Теперь можем найти вектор ( m = \vec{AB} - \vec{CA} ):
[
m = (0, 3, 1) - (3, 0, -1) = (-3, 3, 2)
]
Или ( m = \vec{AB} + \vec{ap} ):
Сначала найдем ( \vec{aP} ):
[
\vec{AP} = \vec{P} - \vec{A} = (2 - 1, -2 - (-1), 8 - 4) = (1, -1, 4)
]
Теперь находим ( m ):
[
m = (0, 3, 1) + (1, -1, 4) = (1, 2, 5)
]
4. Вычислите длину вектора ( m ).
Длина вектора ( m = (-3, 3, 2) ):
[
|m| = \sqrt{(-3)^2 + (3)^2 + (2)^2} = \sqrt{9 + 9 + 4} = \sqrt{22}
]
5. ВК - медиана треугольника АВС. Найдите ее длину.
Координаты середины ( BC ):
[
M = \left(\frac{x_B + x_C}{2}, \frac{y_B + y_C}{2}, \frac{z_B + z_C}{2}\right) = \left(\frac{1 + (-2)}{2}, \frac{2 + (-1)}{2}, \frac{5 + 5}{2}\right) = \left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 5\right)
]
Теперь найдём длину медианы ( AM ):
[
AM = \sqrt{\left(1 - \left(-\frac{1}{2}\right)\right)^2 + \left(-1 - \frac{1}{2}\right)^2 + (4 - 5)^2}
]
[
AM = \sqrt{\left(1 + \frac{1}{2}\right)^2 + \left(-\frac{3}{2}\right)^2 + (-1)^2} = \sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2 + \left(-\frac{3}{2}\right)^2 + 1}
]
[
AM = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{9}{4} + 1} = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{4}{4}} = \sqrt{\frac{13}{4}} = \frac{\sqrt{13}}{2}
]
6. Найдите координаты точки ( P ), пересечения медиан треугольника ( ABC ).
Координаты центра масс (барицентр) треугольника:
[
G = \left(\frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \frac{y_A + y_B + y_C}{3}, \frac{z_A + z_B + z_C}{3}\right) = \left(\frac{1 + 1 - 2}{3}, \frac{-1 + 2 - 1}{3}, \frac{4 + 5 + 5}{3}\right)
]
[
G = \left(\frac{0}{3}, \frac{0}{3}, \frac{14}{3}\right) = \left(0, 0, \frac{14}{3}\right)
]
7. Вычислите косинус угла ( C ).
Для нахождения косинуса угла между векторами ( AB ) и ( AC ), необходимо сначала вычислить вектор ( AC ):
[
\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A} = (-2 - 1, -1 - (-1), 5 - 4) = (-3, 0, 1)
]
Теперь находим скалярное произведение ( \vec{AB} \cdot \vec{AC} ):
[
\vec{AB} \cdot \vec{AC} = (0)(-3) + (3)(0) + (1)(1) = 0 + 0 + 1 = 1
]
Длину векторов:
[
|\vec{AB}| = \sqrt{0^2 + 3^2 + 1^2} = \sqrt{0 + 9 + 1} = \sqrt{10}
]
[
|\vec{AC}| = \sqrt{(-3)^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 0 + 1} = \sqrt{10}
]
Косинус угла ( C ):
[
\cos C = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| |\vec{AC}|} = \frac{1}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{10}} = \frac{1}{10}
]
8. Найдите площадь треугольника ( ABC ).
Площадь треугольника можно найти по формуле:
[
S = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|
]
Сначала найдем векторное произведение:
[
\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \
0 & 3 & 1 \
-3 & 0 & 1
\end{vmatrix}
]
[
= \vec{i} \left(3 \cdot 1 - 0 \cdot 1\right) - \vec{j} \left(0 \cdot 1 - (-3) \cdot 1\right) + \vec{k} \left(0 \cdot 0 - (-3) \cdot 3\right)
]
[
= 3\vec{i} - 3\vec{j} + 9\vec{k}
]
Теперь найдем длину этого вектора:
[
|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{3^2 + (-3)^2 + 9^2} = \sqrt{9 + 9 + 81} = \sqrt{99} = 3\sqrt{11}
]
Площадь треугольника:
[
S = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}| = \frac{1}{2} \cdot 3\sqrt{11} = \frac{3\sqrt{11}}{2}
]
9. Под каким углом к линии перемещения направлена сила ( F ), если на прямолинейном пути от точки ( A ) до точки ( B ) совершили 4 ед. работы?
Работа ( A = F \cdot d \cdot \cos(\phi) ):
Где ( d ) - расстояние между точками ( A ) и ( B ):
[
d = |\vec{AB}| = \sqrt{0^2 + 3^2 + 1^2} = \sqrt{10}
]
Работа равна 4:
[
4 = F \cdot d \cdot \cos(\phi) \quad (1)
]
Теперь величина силы ( F ):
[
F = |\vec{F}| = \sqrt{(-3)^2 + 4^2 + (\sqrt{15})^2} = \sqrt{9 + 16 + 15} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}
]
Теперь подставим в уравнение (1):
[
4 = 2\sqrt{10} \cdot \sqrt{10} \cdot \cos(\phi)
]
[
4 = 20 \cdot \cos(\phi) \implies \cos(\phi) = \frac{4}{20} = \frac{1}{5}
]
Угол ( \phi ):
[
\phi = \arccos\left(\frac{1}{5}\right)
]
10. Определить количество снарядов, необходимое для полного разрушения цели, если известно, что для полного разрушения 1 кв. единицы площади цели необходимо ( n ) снарядов.
Площадь треугольника ( ABC ):
[
S = \frac{3\sqrt{11}}{2}
]
С количеством снарядов:
[
N = n \cdot S = 6 \cdot \frac{3\sqrt{11}}{2} = 9\sqrt{11}
]
Таким образом, ответ на все вопросы по заданной задаче готов. Если у вас есть дополнительные вопросы или уточнения, не стесняйтесь спрашивать!
