Рассмотрим последовательность произведения:
[
\frac{3}{2} \times \frac{4}{3} \times \frac{5}{4} \times \frac{6}{5} \times \dots \times \frac{a}{b}
]
Заметим, что каждый отрезок последовательности может быть записан в виде:
[
\frac{n+1}{n} \quad (n = 2, 3, 4, \ldots, k)
]
Каждое следующее деление приводит к сокращению:
[
\frac{3}{2} \times \frac{4}{3} \times \frac{5}{4} \times \frac{6}{5} \times \ldots \times \frac{n+1}{n} = \frac{n+1}{2}
]
Теперь определим, сколько таких членов в нашем произведении. Мы видим, что формула будет выглядеть так:
[
\frac{n+1}{2}
]
где ( n ) - это последний номер в последовательности (равный числу, стоящему в знаменателе). Таким образом, у нас есть:
[
\frac{a}{b} = \frac{n+1}{2}
]
где ( n = b ), следовательно, равенство будет выглядеть так:
[
\frac{b+1}{2} = 2024
]
Умножим обe стороны на 2:
[
b + 1 = 4048
]
Отсюда:
[
b = 4047
]
Теперь нам нужно найти ( a ):
[
a = b + 1 = 4047 + 1 = 4048
]
Теперь мы знаем, что ( a = 4048 ) и ( b = 4047 ). Следовательно, сумма ( a + b ) равна:
[
a + b = 4048 + 4047 = 8095
]
Таким образом, ответ:
[
\boxed{8095}
]
