Найдите катеты прямоугольного треугольника, если их сумма равна 17 см, а гипотенуза треугольника 13 см. составим квадратное уравнение
Обозначим катеты прямоугольного треугольника как \( a \) и \( b \). Мы знаем, что:
- \( a + b = 17 \) (сумма катетов равна 17 см)
- По теореме Пифагора: \( a^2 + b^2 = c^2 \), где \( c \) — гипотенуза. В нашем случае \( c = 13 \) см, поэтому: \( a^2 + b^2 = 13^2 = 169 \).
Теперь мы можем выразить один катет через другой. Из первого уравнения можно выразить \( b \):
\[ b = 17 - a \]
Теперь подставим это выражение во второе уравнение:
\[ a^2 + (17 - a)^2 = 169 \]
Раскроем скобки:
\[ a^2 + (17^2 - 34a + a^2) = 169 \]
Это упростится до:
\[ 2a^2 - 34a + 289 = 169 \]
Теперь уберем 169 из обеих сторон:
\[ 2a^2 - 34a + 120 = 0 \]
Чтобы решить квадратное уравнение, сначала упростим его, разделив все коэффициенты на 2:
\[ a^2 - 17a + 60 = 0 \]
Теперь мы можем решить это уравнение с помощью формулы нахождения корней квадратного уравнения:
\[ a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
где \( a = 1 \), \( b = -17 \), \( c = 60 \).
Подставим значения:
\[ a = \frac{17 \pm \sqrt{(-17)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 60}}{2 \cdot 1} \]
Посчитаем дискриминант:
\[ D = 289 - 240 = 49 \]
Теперь найдем корни:
\[ a = \frac{17 \pm 7}{2} \]
Это дает два корня:
- \( a_1 = \frac{24}{2} = 12 \)
- \( a_2 = \frac{10}{2} = 5 \)
Таким образом, один катет равен 12 см, а другой — 5 см.
Итак, катеты прямоугольного треугольника: 12 см и 5 см.
