Обозначим катеты прямоугольного треугольника как ( a ) и ( b ). Мы знаем, что:
- ( a + b = 17 ) (сумма катетов равна 17 см)
- По теореме Пифагора: ( a^2 + b^2 = c^2 ), где ( c ) — гипотенуза. В нашем случае ( c = 13 ) см, поэтому: ( a^2 + b^2 = 13^2 = 169 ).
Теперь мы можем выразить один катет через другой. Из первого уравнения можно выразить ( b ):
[ b = 17 - a ]
Теперь подставим это выражение во второе уравнение:
[ a^2 + (17 - a)^2 = 169 ]
Раскроем скобки:
[ a^2 + (17^2 - 34a + a^2) = 169 ]
Это упростится до:
[ 2a^2 - 34a + 289 = 169 ]
Теперь уберем 169 из обеих сторон:
[ 2a^2 - 34a + 120 = 0 ]
Чтобы решить квадратное уравнение, сначала упростим его, разделив все коэффициенты на 2:
[ a^2 - 17a + 60 = 0 ]
Теперь мы можем решить это уравнение с помощью формулы нахождения корней квадратного уравнения:
[ a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]
где ( a = 1 ), ( b = -17 ), ( c = 60 ).
Подставим значения:
[ a = \frac{17 \pm \sqrt{(-17)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 60}}{2 \cdot 1} ]
Посчитаем дискриминант:
[ D = 289 - 240 = 49 ]
Теперь найдем корни:
[ a = \frac{17 \pm 7}{2} ]
Это дает два корня:
- ( a_1 = \frac{24}{2} = 12 )
- ( a_2 = \frac{10}{2} = 5 )
Таким образом, один катет равен 12 см, а другой — 5 см.
Итак, катеты прямоугольного треугольника: 12 см и 5 см.
