Чтобы решить уравнение ( \frac{3}{1+x+x^2} = 3 - x - x^2 ) с введением новой переменной, можно заметить, что левая часть уравнения имеет вид дроби с многочленом в знаменателе. Чтобы упростить задачу, введем новую переменную:
Пусть ( y = x + x^2 ). Тогда ( y = x + x^2 ) можно переписать как:
[
y = x(1 + x)
]
Теперь подставим ( y ) в наше уравнение. Сначала упростим правую часть уравнения:
[
3 - x - x^2 = 3 - (x + x^2) = 3 - y
]
Теперь у нас есть:
[
\frac{3}{1 + y} = 3 - y
]
Умножим обе стороны на ( (1 + y) ) (при условии, что ( 1 + y \neq 0 )):
[
3 = (3 - y)(1 + y)
]
Раскроем скобки:
[
3 = 3 + 3y - y - y^2
]
[
3 = 3 + 2y - y^2
]
Теперь упростим уравнение, вычитая 3 из обеих сторон:
[
0 = 2y - y^2
]
Переписываем уравнение:
[
y^2 - 2y = 0
]
Вынесем ( y ) за скобки:
[
y(y - 2) = 0
]
Таким образом, у нас есть два возможных значения для ( y ):
- ( y = 0 )
- ( y = 2 )
Теперь вернемся к переменной ( x ):
Если ( y = 0 ):
[
x + x^2 = 0 \implies x(x + 1) = 0
]
Это дает решения:
[
x = 0 \quad \text{или} \quad x = -1
]
Если ( y = 2 ):
[
x + x^2 = 2 \implies x^2 + x - 2 = 0
]
Решим это уравнение с помощью формулы корней квадратного уравнения ( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ):
[
x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2}
]
Это дает два решения:
[
x = 1 \quad \text{или} \quad x = -2
]
Таким образом, все решения уравнения:
[
x = 0, \quad x = -1, \quad x = 1, \quad x = -2
]
