3/1+х+х2=3-х-х2 решить введением новой переменной
Чтобы решить уравнение \( \frac{3}{1+x+x^2} = 3 - x - x^2 \) с введением новой переменной, можно заметить, что левая часть уравнения имеет вид дроби с многочленом в знаменателе. Чтобы упростить задачу, введем новую переменную:
Пусть \( y = x + x^2 \). Тогда \( y = x + x^2 \) можно переписать как:
\[ y = x(1 + x) \]
Теперь подставим \( y \) в наше уравнение. Сначала упростим правую часть уравнения:
\[ 3 - x - x^2 = 3 - (x + x^2) = 3 - y \]
Теперь у нас есть:
\[ \frac{3}{1 + y} = 3 - y \]
Умножим обе стороны на \( (1 + y) \) (при условии, что \( 1 + y \neq 0 \)):
\[ 3 = (3 - y)(1 + y) \]
Раскроем скобки:
\[ 3 = 3 + 3y - y - y^2 \] \[ 3 = 3 + 2y - y^2 \]
Теперь упростим уравнение, вычитая 3 из обеих сторон:
\[ 0 = 2y - y^2 \]
Переписываем уравнение:
\[ y^2 - 2y = 0 \]
Вынесем \( y \) за скобки:
\[ y(y - 2) = 0 \]
Таким образом, у нас есть два возможных значения для \( y \):
- \( y = 0 \)
- \( y = 2 \)
Теперь вернемся к переменной \( x \):
Если \( y = 0 \): \[ x + x^2 = 0 \implies x(x + 1) = 0 \] Это дает решения: \[ x = 0 \quad \text{или} \quad x = -1 \]
Если \( y = 2 \): \[ x + x^2 = 2 \implies x^2 + x - 2 = 0 \] Решим это уравнение с помощью формулы корней квадратного уравнения \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \): \[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2} \] Это дает два решения: \[ x = 1 \quad \text{или} \quad x = -2 \]
Таким образом, все решения уравнения:
\[ x = 0, \quad x = -1, \quad x = 1, \quad x = -2 \]
