Два робота решили разделить между собой 17 одинаковых процессоров. Каждому из них должен хотя бы один из процессоров. Сколько существует разных способов разделить процессиры между…
Два робота решили разделить между собой 17 одинаковых процессоров. Каждому из них должен хотя бы один из процессоров. Сколько существует разных способов разделить процессиры между роботами.
Пусть \( x_1 \) — количество процессоров, отданных первому роботу, а \( x_2 \) — количество процессоров, отданных второму роботу. Мы знаем, что:
\[ x_1 + x_2 = 17 \]
и \( x_1 \geq 1 \), \( x_2 \geq 1 \).
Для удобства, можно сделать замену переменных:
\[ y_1 = x_1 - 1 \quad (y_1 \geq 0) \] \[ y_2 = x_2 - 1 \quad (y_2 \geq 0) \]
Тогда у нас будет:
\[ y_1 + 1 + y_2 + 1 = 17 \]
или
\[ y_1 + y_2 = 15. \]
Теперь нам нужно подсчитать неотрицательные решения уравнения \( y_1 + y_2 = 15 \). Для этого можно использовать формулу для количества неотрицательных решений:
\[ C(n+k-1, k-1), \]
где \( n \) — это 15, а \( k \) — это 2 (количество переменных).
В нашем случае:
\[ C(15 + 2 - 1, 2 - 1) = C(16, 1) = 16. \]
Таким образом, существует 16 различных способов разделить 17 одинаковых процессоров между двумя роботами так, чтобы каждый из них получил хотя бы один процессор.
