докажи что четырехугольник ABCD является прямоугольник найти его площадь если А(15;2) и B(21; 4). C (19;10) и D ( 13;8)

Чтобы доказать, что четырехугольник ABCD является прямоугольником, нужно показать, что его противоположные стороны равны и что их углы равны 90 градусов. Один из способов сделать это — проверить, что скалярное произведение векторов, образующих стороны, равно нулю.

1. Сначала найдем координаты вершин:

• \( A(15, 2) \)
• \( B(21, 4) \)
• \( C(19, 10) \)
• \( D(13, 8) \)

2. Найдем векторы:

• \( \overrightarrow{AB} = B - A = (21 - 15, 4 - 2) = (6, 2) \)
• \( \overrightarrow{BC} = C - B = (19 - 21, 10 - 4) = (-2, 6) \)
• \( \overrightarrow{CD} = D - C = (13 - 19, 8 - 10) = (-6, -2) \)
• \( \overrightarrow{DA} = A - D = (15 - 13, 2 - 8) = (2, -6) \)

3. Проверим, что векторы, образующие соседние стороны прямоугольника, перпендикулярны:

• \( \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = (6)(-2) + (2)(6) = -12 + 12 = 0 \)
• \( \overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{CD} = (-2)(-6) + (6)(-2) = 12 - 12 = 0 \)
• \( \overrightarrow{CD} \cdot \overrightarrow{DA} = (-6)(2) + (-2)(-6) = -12 + 12 = 0 \)
• \( \overrightarrow{DA} \cdot \overrightarrow{AB} = (2)(6) + (-6)(2) = 12 - 12 = 0 \)

Так как все соседние векторы перпендикулярны друг другу, мы можем заключить, что ABCD является прямоугольником.

4. Теперь найдём его площадь. Площадь прямоугольника можно найти, используя формулу: \[ \text{Площадь} = |AB| \times |BC| \]

Сначала находим длины сторон: \[ |AB| = \sqrt{(21 - 15)^2 + (4 - 2)^2} = \sqrt{6^2 + 2^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} \] \[ |BC| = \sqrt{(19 - 21)^2 + (10 - 4)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} \]

Таким образом, площадь: \[ \text{Площадь} = |AB| \times |BC| = (2\sqrt{10}) \times (2\sqrt{10}) = 4 \times 10 = 40 \]

Итак, площадь четырехугольника ABCD равна 40.