1. Закон движение точки по прямой дается формулой s(t)=2t+2, где t-время (в секундах),s(t)-отклонение точки в момента времени t(в метрах) от начального положения. Найди мгновенную скорость движения точки. 2. Точка движется по прямой согласно закону, заданному формулой s(t)=13t^2,где t-время(в секундах),s(t)- отклонение точки в момент времени t(в метрах) от начального положения. Вычисли скорость и ускорение в момент времени t,если:t=1,2с 3. Закон движения точки по прямой задается формулой s(t)=4t^2+t,где t-время (секундах),s(t)-отклонение точки в момента времени t(в метрах) от начального положения. Найди скорость и ускорение в момент времени t, если:t=1,3с Докажи, что у заданной функции ускорения в момент времени t является постоянной величиной. В доказательстве используя определение производной. 1. Приращение функции: 2. Предел по определению производной:

### 1. Найдем мгновенную скорость движения точки. Скорость \( v(t) \) — это производная функции перемещения \( s(t) \) по времени \( t \): \[ v(t) = \frac{ds(t)}{dt} \] Для данной функции \( s(t) = 2t + 2 \) \[ v(t) = \frac{d}{dt}(2t + 2) = 2 \] Таким образом, мгновенная скорость точки равна 2 м/с. --- ### 2. Вычислим скорость и ускорение в момент времени \( t \), если \( t = 1.2 \) с. Сначала найдем скорость. Для функции \[ s(t) = 13t^2 \] Скорость \( v(t) \): \[ v(t) = \frac{ds(t)}{dt} = \frac{d}{dt}(13t^2) = 26t \] Теперь вычислим скорость в момент времени \( t = 1.2 \): \[ v(1.2) = 26 \times 1.2 = 31.2 \, \text{м/с} \] Теперь найдем ускорение \( a(t) \): \[ a(t) = \frac{dv(t)}{dt} = \frac{d}{dt}(26t) = 26 \] Таким образом, ускорение в любой момент времени равно 26 м/с². --- ### 3. Найдем скорость и ускорение в момент времени \( t \), если \( t = 1.3 \) с. Для функции: \[ s(t) = 4t^2 + t \] Сначала найдем скорость \( v(t) \): \[ v(t) = \frac{ds(t)}{dt} = \frac{d}{dt}(4t^2 + t) = 8t + 1 \] Теперь вычислим скорость в момент времени \( t = 1.3 \): \[ v(1.3) = 8 \times 1.3 + 1 = 10.4 + 1 = 11.4 \, \text{м/с} \] Теперь найдем ускорение \( a(t) \): \[ a(t) = \frac{dv(t)}{dt} = \frac{d}{dt}(8t + 1) = 8 \] Таким образом, ускорение в любой момент времени равно 8 м/с². ### Доказательство, что ускорение является постоянной величиной. #### 1. Приращение функции Приращение функции скорости \( v(t) \) на интервале \( [t, t + \Delta t] \): \[ \Delta v = v(t + \Delta t) - v(t) = (8(t + \Delta t) + 1) - (8t + 1) = 8\Delta t \] #### 2. Предел по определению производной Теперь найдем производную, которая представляет ускорение: \[ a(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta v}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{8\Delta t}{\Delta t} = 8 \] Так как предел равен 8, мы можем утверждать, что ускорение постоянное. Таким образом, ускорение у заданной функции является постоянной величиной и равно 8 м/с².