тоски M и N середины сорон AB и BC равносторонего треугольная ABC со стороной равной 1. найдите вектор MN × вектор AC
Чтобы найти вектор \( \vec{MN} \times \vec{AC} \), начнем с определения координат точек треугольника \( ABC \):
Пусть:
- \( A(0, 0) \)
- \( B(1, 0) \)
- \( C\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \)
Теперь найдем середины отрезков \( AB \) и \( BC \):
Середина \( M \) отрезка \( AB \): \[ M\left(\frac{0 + 1}{2}, \frac{0 + 0}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}, 0\right) \]
Середина \( N \) отрезка \( BC \): \[ N\left(\frac{1 + \frac{1}{2}}{2}, \frac{0 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}\right) = \left(\frac{3}{4}, \frac{\sqrt{3}}{4}\right) \]
Теперь найдем векторы \( \vec{MN} \) и \( \vec{AC} \):
Вектор \( \vec{MN} = N - M \): \[ \vec{MN} = \left(\frac{3}{4} - \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{4} - 0\right) = \left(\frac{1}{4}, \frac{\sqrt{3}}{4}\right) \]
Вектор \( \vec{AC} = C - A \): \[ \vec{AC} = \left(\frac{1}{2} - 0, \frac{\sqrt{3}}{2} - 0\right) = \left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \]
Теперь найдем векторное произведение \( \vec{MN} \times \vec{AC} \):
\[ \vec{MN} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \frac{1}{4} & \frac{\sqrt{3}}{4} & 0 \\ \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & 0 \end{vmatrix} \]
Вычисляя детерминант:
\[ \vec{MN} \times \vec{AC} = \hat{k} \left(\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{1}{2}\right) = \hat{k} \left(\frac{\sqrt{3}}{8} - \frac{\sqrt{3}}{8}\right) = \hat{k} \cdot 0 \]
Таким образом, результат:
\[ \vec{MN} \times \vec{AC} = 0 \]
Ответ: \( 0 \)
