В равнобедренном треугольнике ABC с основанием BC проведена медиана AM. Найдите медиану AM, если периметр треугольника ABC равен 25,4 см, а периметр треугольника ABM равен 15,7 см.

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием BC и медианой AM, проведенной из вершины A на основание BC, обозначим:

• \( AB = AC = x \)
• \( BC = y \)

Сначала запишем уравнение для периметра треугольника ABC:

\[ AB + AC + BC = 25,4 \Rightarrow 2x + y = 25,4 \quad \text{(1)} \]

Теперь запишем уравнение для периметра треугольника ABM:

\[ AB + AM + BM = 15,7 \]

Обозначим \( AM = m \) и \( BM = \frac{y}{2} \), так как медиана делит основание пополам.

Тогда у нас есть:

\[ x + m + \frac{y}{2} = 15,7 \quad \text{(2)} \]

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. \( 2x + y = 25,4 \)
2. \( x + m + \frac{y}{2} = 15,7 \)

Теперь выразим \( y \) из первого уравнения:

\[ y = 25,4 - 2x \]

Подставим это выражение во второе уравнение:

\[ x + m + \frac{25,4 - 2x}{2} = 15,7 \]

Упрощаем:

\[ x + m + \frac{25,4}{2} - x = 15,7 \] \[ m + 12,7 = 15,7 \] \[ m = 15,7 - 12,7 = 3 \]

Таким образом, медиана \( AM \) равна 3 см.