Для определения типа угла между двумя векторами, можно использовать скалярное произведение и формулу для косинуса угла между ними.
Даны векторы ( \mathbf{a} = \begin{pmatrix} 7 \ -2 \end{pmatrix} ) и ( \mathbf{b} = \begin{pmatrix} -2 \ -4 \end{pmatrix} ).
Сначала найдем скалярное произведение векторов:
[
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 7 \cdot (-2) + (-2) \cdot (-4) = -14 + 8 = -6
]
Теперь найдем длины векторов:
[
|\mathbf{a}| = \sqrt{7^2 + (-2)^2} = \sqrt{49 + 4} = \sqrt{53}
]
[
|\mathbf{b}| = \sqrt{(-2)^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}
]
Теперь используем формулу для косинуса угла:
[
\cos \theta = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}| |\mathbf{b}|}
]
Подставим найденные значения:
[
\cos \theta = \frac{-6}{\sqrt{53} \cdot 2\sqrt{5}} = \frac{-6}{2\sqrt{265}} = \frac{-3}{\sqrt{265}}
]
Так как (\cos \theta < 0), это означает, что угол между векторами острый ((90^\circ < \theta < 180^\circ)).
Таким образом, угол между векторами является тупым.
