Давайте обозначим:
- ( c ) - гипотенуза,
- ( a ) - меньший катет,
- ( b ) - больший катет.
В прямоугольном треугольнике с углом в 60° меньший катет (допустим, ( a )) будет противолежащим к этому углу, а гипотенуза ( c ) будет его соседней стороной:
По свойствам прямоугольного треугольника, если один из углов равен 60°, то:
[
a = c \cdot \sin(60°) = c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}
]
[
b = c \cdot \cos(60°) = c \cdot \frac{1}{2}
]
По условию задачи у нас есть:
[
c + a = 19,2 , \text{см}
]
Подставим выражение для ( a ):
[
c + c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 19,2
]
Факторизуем ( c ):
[
c \left(1 + \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 19,2
]
Теперь вычислим скобку:
[
1 + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2 + \sqrt{3}}{2}
]
Подставляем это в уравнение:
[
c \cdot \frac{2 + \sqrt{3}}{2} = 19,2
]
Умножим обе стороны на 2:
[
c (2 + \sqrt{3}) = 38,4
]
Теперь найдём ( c ):
[
c = \frac{38,4}{2 + \sqrt{3}}
]
Теперь подставим значение ( \sqrt{3} \approx 1,732 ):
[
c \approx \frac{38,4}{2 + 1,732} \approx \frac{38,4}{3,732} \approx 10,3 , \text{см}
]
Таким образом, гипотенуза треугольника приблизительно равна ( 10,3 , \text{см} ).
