Наибольшее значение функции y=((x+5) ^2) ×(x-1) +7 на отрезке [-17;2)

Чтобы найти наибольшее значение функции \( y = ((x+5)^2)(x-1) + 7 \) на отрезке \([-17; 2)\), рассмотрим следующий план: 1. Найдем первую производную функции \( y \) и найдем критические точки. 2. Определим значение функции на границе отрезка и в критических точках. 3. Сравним значения для нахождения наибольшего. ### 1. Находим первую производную функции Записываем производную: \[ y = ((x+5)^2)(x-1) + 7 \] Для удобства, обозначим \( u = (x+5)^2 \) и \( v = (x-1) \). Тогда по правилу произведения: \[ y' = u'v + uv' \] Сначала найдем производные \( u' \) и \( v' \): \[ u' = 2(x+5), \quad v' = 1 \] Теперь подставим все в производную: \[ y' = 2(x+5)(x-1) + (x+5)^2 \cdot 1 \] Упрощаем: \[ y' = 2(x^2 + 4x - 5) + (x^2 + 10x + 25) = 2x^2 + 8x - 10 + x^2 + 10x + 25 \] Собираем подобные члены: \[ y' = 3x^2 + 18x + 15 \] ### 2. Найдем критические точки Приравняем производную к нулю: \[ 3x^2 + 18x + 15 = 0 \] Упрощаем уравнение: \[ x^2 + 6x + 5 = 0 \] Решим это квадратное уравнение: \[ (x+1)(x+5) = 0 \] Корни будут: \[ x = -1 \quad \text{и} \quad x = -5 \] ### 3. Исследуем значения Теперь нужно найти значения функции \( y \) в критических точках и на границах отрезка: 1. На границе отрезка \( x = -17 \): \[ y(-17) = ((-17+5)^2)(-17-1) + 7 = (144)(-18) + 7 = -2592 + 7 = -2585 \] 2. На границе отрезка \( x = 2 \) (хотя 2 не включается, считаем предел): \[ y(2) = ((2+5)^2)(2-1) + 7 = (49)(1) + 7 = 49 + 7 = 56 \] 3. На критической точке \( x = -1 \): \[ y(-1) = ((-1 + 5)^2)(-1 - 1) + 7 = (16)(-2) + 7 = -32 + 7 = -25 \] 4. На критической точке \( x = -5 \): \[ y(-5) = ((-5 + 5)^2)(-5 - 1) + 7 = (0)(-6) + 7 = 0 + 7 = 7 \] ### 4. Сравниваем значения Теперь у нас есть: - \( y(-17) = -2585 \) - \( y(2) \approx 56 \) (предел) - \( y(-1) = -25 \) - \( y(-5) = 7 \) Наибольшее значение на отрезке \([-17; 2)\): \[ \max(-2585, -25, 7) = 7 \] Таким образом, наибольшее значение функции на заданном отрезке равно **7**.