наибольшее значение функции y=((x+5) ^2) ×(x-1) +7 на отрезке [-17;2)
Чтобы найти наибольшее значение функции \( y = ((x+5)^2)(x-1) + 7 \) на отрезке \([-17; 2)\), рассмотрим следующий план:
- Найдем первую производную функции \( y \) и найдем критические точки.
- Определим значение функции на границе отрезка и в критических точках.
- Сравним значения для нахождения наибольшего.
1. Находим первую производную функции
Записываем производную:
\[ y = ((x+5)^2)(x-1) + 7 \]
Для удобства, обозначим \( u = (x+5)^2 \) и \( v = (x-1) \). Тогда по правилу произведения:
\[ y' = u'v + uv' \]
Сначала найдем производные \( u' \) и \( v' \):
\[ u' = 2(x+5), \quad v' = 1 \]
Теперь подставим все в производную:
\[ y' = 2(x+5)(x-1) + (x+5)^2 \cdot 1 \]
Упрощаем:
\[ y' = 2(x^2 + 4x - 5) + (x^2 + 10x + 25) = 2x^2 + 8x - 10 + x^2 + 10x + 25 \]
Собираем подобные члены:
\[ y' = 3x^2 + 18x + 15 \]
2. Найдем критические точки
Приравняем производную к нулю:
\[ 3x^2 + 18x + 15 = 0 \]
Упрощаем уравнение:
\[ x^2 + 6x + 5 = 0 \]
Решим это квадратное уравнение:
\[ (x+1)(x+5) = 0 \]
Корни будут:
\[ x = -1 \quad \text{и} \quad x = -5 \]
3. Исследуем значения
Теперь нужно найти значения функции \( y \) в критических точках и на границах отрезка:
- На границе отрезка \( x = -17 \):
\[ y(-17) = ((-17+5)^2)(-17-1) + 7 = (144)(-18) + 7 = -2592 + 7 = -2585 \]
- На границе отрезка \( x = 2 \) (хотя 2 не включается, считаем предел):
\[ y(2) = ((2+5)^2)(2-1) + 7 = (49)(1) + 7 = 49 + 7 = 56 \]
- На критической точке \( x = -1 \):
\[ y(-1) = ((-1 + 5)^2)(-1 - 1) + 7 = (16)(-2) + 7 = -32 + 7 = -25 \]
- На критической точке \( x = -5 \):
\[ y(-5) = ((-5 + 5)^2)(-5 - 1) + 7 = (0)(-6) + 7 = 0 + 7 = 7 \]
4. Сравниваем значения
Теперь у нас есть:
- \( y(-17) = -2585 \)
- \( y(2) \approx 56 \) (предел)
- \( y(-1) = -25 \)
- \( y(-5) = 7 \)
Наибольшее значение на отрезке \([-17; 2)\):
\[ \max(-2585, -25, 7) = 7 \]
Таким образом, наибольшее значение функции на заданном отрезке равно 7.
