Найдите область определения функции: а) √(2х+5)(х-17) б) √х(х+9)(х-8) номер 335: Решите неравенство: a) (x - 21)/(x + 7) < 0 ; B) (6x + 1)/(3 + x) > 0 6) (x + 4, 7)/(x - 7, 2) > 0…

Область определения функции — это множество значений переменной, при которых функция имеет смысл.

1. Определение области для функций:

а) \( f(x) = \sqrt{(2x + 5)(x - 17)} \)

Чтобы подкоренное выражение было неотрицательным:

1. \( 2x + 5 \geq 0 \) \[ 2x \geq -5 \implies x \geq -\frac{5}{2} \]
2. \( x - 17 \geq 0 \) \[ x \geq 17 \]

Поскольку мы имеем два условия, область определения функции будет пересечением этих условий: \[ x \geq 17 \]

То есть область определения: \( [17, +\infty) \).

б) \( g(x) = \sqrt{x(x + 9)(x - 8)} \)

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

1. \( x \geq 0 \)
2. \( x + 9 \geq 0 \) (это условие всегда выполняется для \( x \geq 0 \))
3. \( x - 8 \geq 0 \) \[ x \geq 8 \]

Таким образом, область определения функции составляет: \[ x \geq 8 \]

То есть область определения: \( [8, +\infty) \).

---

2. Решение неравенств:

а) \(\frac{x - 21}{x + 7} < 0\)

Находим нули и точки, где знаменатель равен нулю:

• Нуль: \( x - 21 = 0 \) \(\implies x = 21\)
• Знаменатель: \( x + 7 = 0 \) \(\implies x = -7\)

Обозначим точки на числовой оси: \(-7\) и \(21\). Теперь исследуем знаки в интервалах:

1. \( (-\infty, -7) \): \( \frac{-}{-} > 0 \)
2. \( (-7, 21) \): \( \frac{+}{-} < 0 \) (решение)
3. \( (21, +\infty) \): \( \frac{+}{+} > 0 \)

Решение: \( (-7, 21) \).

---

б) \(\frac{6x + 1}{3 + x} > 0\)

Нули и точки, где знаменатель равен нулю:

• Нуль: \( 6x + 1 = 0 \) \(\implies x = -\frac{1}{6}\)
• Знаменатель: \( 3 + x = 0 \) \(\implies x = -3\)

Обозначаем точки на оси: \(-3\) и \(-\frac{1}{6}\). Исследуем знаки:

1. \( (-\infty, -3) \): \( \frac{-}{-} > 0 \) (решение)
2. \( (-3, -\frac{1}{6}) \): \( \frac{+}{-} < 0 \)
3. \( (-\frac{1}{6}, +\infty) \): \( \frac{+}{+} > 0 \) (решение)

Решение: \( (-\infty, -3) \cup (-\frac{1}{6}, +\infty) \).

---

6) \(\frac{x + 4.7}{x - 7.2} > 0\)

Нули и точки, где знаменатель равен нулю:

• Нуль: \( x + 4.7 = 0 \) \(\implies x = -4.7\)
• Знаменатель: \( x - 7.2 = 0 \) \(\implies x = 7.2\)

Обозначаем изменения знаков:

1. \( (-\infty, -4.7) \): \( \frac{-}{-} > 0 \) (решение)
2. \( (-4.7, 7.2) \): \( \frac{+}{-} < 0 \)
3. \( (7.2, +\infty) \): \( \frac{+}{+} > 0 \) (решение)

Решение: \( (-\infty, -4.7) \cup (7.2, +\infty) \).

---

г) \(\frac{5x}{4x - 12} < 0\)

Нули и точки, где знаменатель равен нулю:

• Нуль: \( 5x = 0 \) \(\implies x = 0\)
• Знаменатель: \( 4x - 12 = 0 \) \(\implies x = 3\)

Обозначаем изменения знаков:

1. \( (-\infty, 0) \): \( \frac{-}{-} > 0 \)
2. \( (0, 3) \): \( \frac{+}{-} < 0 \) (решение)
3. \( (3, +\infty) \): \( \frac{+}{+} > 0 \)

Решение: \( (0, 3) \).

---

Номер 334:

д) \(\frac{5x + 1}{x - 2} > 0\)

Нули и точки, где знаменатель равен нулю:

• Нуль: \( 5x + 1 = 0 \) \(\implies x = -\frac{1}{5}\)
• Знаменатель: \( x - 2 = 0 \) \(\implies x = 2\)

Исследуем знаки:

1. \( (-\infty, -\frac{1}{5}) \): \( \frac{-}{-} > 0 \) (решение)
2. \( (-\frac{1}{5}, 2) \): \( \frac{+}{-} < 0 \)
3. \( (2, +\infty) \): \( \frac{+}{+} > 0 \) (решение)

Решение: \( (-\infty, -\frac{1}{5}) \cup (2, +\infty) \).

---

е) \( 1 - \frac{11x}{1 - x} \leq 0\)

Перепишем это неравенство: \[ 1 \leq \frac{11x}{1 - x} \]

Умножим на \( 1 - x \) (учитывая, что знаки меняются при умножении на отрицательное): \[ (1 - x) \geq 11x \implies 1 \geq 12x \implies x \leq \frac{1}{12} \]

Знаменатель \(1 - x\) должен быть положительным, поэтому \( x < 1 \).

Таким образом, \( x \leq \frac{1}{12}\) и \( x < 1\). Объединяем и учитываем, что \( x < 1\) — это более строгое условие.

Решение: \( x \leq \frac{1}{12} \).