Чтобы найти площадь параллелограмма, когда известны длина стороны и угол, можем воспользоваться формулой:
[
S = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)
]
где ( S ) — площадь параллелограмма, ( a ) и ( b ) — длины сторон, а ( \alpha ) — угол между ними.
В данном случае одна сторона равна 15,2 см. Нам нужно найти другую сторону ( b ). Из условия задачи известна диагональ параллелограмма, которая равна длине стороны и равна 15,2 см. Также известен угол ( \alpha = 45^\circ ).
Поскольку диагональ равна стороне, используя свойства параллелограмма, можно определить, что второй угол тоже равен 45°, так как углы противолежащих сторон равны.
Теперь можем воспользоваться теоремой косинусов, чтобы найти вторую сторону ( b ):
[
d^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\alpha)
]
где ( d ) — диагональ. Подставим известные значения:
[
15.2^2 = 15.2^2 + b^2 - 2 \cdot 15.2 \cdot b \cdot \cos(45^\circ)
]
Значение ( \cos(45^\circ) = \frac{1}{\sqrt{2}} ). Упростим уравнение:
[
15.2^2 = 15.2^2 + b^2 - 2 \cdot 15.2 \cdot b \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}
]
Сократим ( 15.2^2 ):
[
0 = b^2 - \frac{2 \cdot 15.2 \cdot b}{\sqrt{2}}
]
Переносим все в одну сторону и приводим к общему виду:
[
b^2 - \frac{30.4}{\sqrt{2}} \cdot b = 0
]
Факторизуем:
[
b(b - \frac{30.4}{\sqrt{2}}) = 0
]
Отсюда, ( b = 0 ) (не подходит) или ( b = \frac{30.4}{\sqrt{2}} ).
Теперь подставим значение ( b ):
[
b = 15.2\sqrt{2} \approx 21.4 \text{ см}
]
Теперь можем найти площадь:
[
S = a \cdot b \cdot \sin(\alpha) = 15.2 \cdot (15.2\sqrt{2}) \cdot \sin(45^\circ)
]
Учитывая, что ( \sin(45^\circ) = \frac{1}{\sqrt{2}} ):
[
S = 15.2 \cdot 15.2\sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 15.2 \cdot 15.2 = 231.04 \text{ см}^2
]
Таким образом, площадь параллелограмма равна ( 231.04 \text{ см}^2 ).
