Для того чтобы гайка не скользила по поверхности диска, необходимо, чтобы сила трения була достаточной, чтобы преодолеть центростремительное ускорение, вызываемое вращением диска.
Центростремительное ускорение (a_c) можно выразить как:
[
a_c = r \cdot \omega^2
]
где:
- (r) - расстояние от центра диска до гайки,
- (\omega) - угловая скорость.
Сила трения (F_t), которая действует на гайку, равна:
[
F_t = \mu \cdot m \cdot g
]
где:
- (\mu) - коэффициент трения (в данном случае 0.3),
- (m) - масса гайки,
- (g) - ускорение свободного падения (примерно 9.81 м/с²).
Центростремительная сила (F_c), необходимая для поддержания гайки на круговой траектории, выражается как:
[
F_c = m \cdot a_c = m \cdot (r \cdot \omega^2)
]
Для равновесия силы трения и центростремительной силы имеем:
[
\mu \cdot m \cdot g = m \cdot (r \cdot \omega^2)
]
Сокращая массу (m) с обеих сторон, получаем:
[
\mu \cdot g = r \cdot \omega^2
]
Теперь можем выразить угловую скорость (\omega):
[
\omega^2 = \frac{\mu \cdot g}{r}
]
[
\omega = \sqrt{\frac{\mu \cdot g}{r}}
]
Теперь подставим значения. Для дистанции (r) в диапазоне от 1 см до 10 см (0.01 м до 0.1 м):
- При (r = 0.01) м:
[
\omega = \sqrt{\frac{0.3 \cdot 9.81}{0.01}} = \sqrt{\frac{2.943}{0.01}} = \sqrt{294.3} \approx 17.2 \text{ рад/с}
]
- При (r = 0.1) м:
[
\omega = \sqrt{\frac{0.3 \cdot 9.81}{0.1}} = \sqrt{\frac{2.943}{0.1}} = \sqrt{29.43} \approx 5.43 \text{ рад/с}
]
Таким образом, угловая скорость (\omega) должна быть в диапазоне от приблизительно 5.43 рад/с до 17.2 рад/с, чтобы гайка не скользила по поверхности диска.
