На каждой из сторон прямоугольника построен квадрат. Сумма площадей квадратов равна 122 см². Найдите стороны прямоугольника, если известно, что его площадь равна 30 см²
Пусть стороны прямоугольника равны \( a \) и \( b \). Площадь прямоугольника равна произведению его сторон:
\[ S_{rectangle} = a \cdot b = 30 \, \text{см}^2 \]
На каждой стороне прямоугольника построен квадрат, поэтому площади квадратов равны:
\[ S_{squares} = a^2 + b^2 = 122 \, \text{см}^2 \]
Теперь у нас есть система уравнений:
- \( a \cdot b = 30 \)
- \( a^2 + b^2 = 122 \)
Из первого уравнения выразим \( b \):
\[ b = \frac{30}{a} \]
Подставим это выражение во второе уравнение:
\[ a^2 + \left( \frac{30}{a} \right)^2 = 122 \]
Упростим это уравнение:
\[ a^2 + \frac{900}{a^2} = 122 \]
Умножим обе стороны на \( a^2 \) (при условии, что \( a \neq 0 \)):
\[ a^4 - 122a^2 + 900 = 0 \]
Обозначим \( x = a^2 \). Тогда уравнение принимает вид:
\[ x^2 - 122x + 900 = 0 \]
Теперь найдем дискриминант:
\[ D = (-122)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 900 = 14884 - 3600 = 11284 \]
Теперь найдём корни уравнения:
\[ x = \frac{122 \pm \sqrt{11284}}{2} \]
Вычислим корень дискриминанта:
\[ \sqrt{11284} = 106.206 \quad (\text{примерно}) \]
Теперь подставляем значение в формулу для нахождения корней:
\[ x_1 = \frac{122 + 106.206}{2} \approx \frac{228.206}{2} \approx 114.103 \] \[ x_2 = \frac{122 - 106.206}{2} \approx \frac{15.794}{2} \approx 7.897 \]
Теперь найдем возможные значения \( a \):
\[ a^2_1 \approx 114.103 \quad \Rightarrow \quad a_1 \approx \sqrt{114.103} \approx 10.68 \] \[ a^2_2 \approx 7.897 \quad \Rightarrow \quad a_2 \approx \sqrt{7.897} \approx 2.81 \]
Теперь найдём соответствующие значения \( b \):
Для \( a_1 \):
\[ b_1 = \frac{30}{a_1} \approx \frac{30}{10.68} \approx 2.81 \]
Для \( a_2 \):
\[ b_2 = \frac{30}{a_2} \approx \frac{30}{2.81} \approx 10.68 \]
Таким образом, стороны прямоугольника равны:
\[ a \approx 10.68 \, \text{см}, \quad b \approx 2.81 \, \text{см} \]
или
\[ a \approx 2.81 \, \text{см}, \quad b \approx 10.68 \, \text{см} \]
В итоге, стороны прямоугольника примерно \( 10.68 \, \text{см} \) и \( 2.81 \, \text{см} \).
