Пусть стороны прямоугольника равны ( a ) и ( b ). Площадь прямоугольника равна произведению его сторон:
[
S_{rectangle} = a \cdot b = 30 , \text{см}^2
]
На каждой стороне прямоугольника построен квадрат, поэтому площади квадратов равны:
[
S_{squares} = a^2 + b^2 = 122 , \text{см}^2
]
Теперь у нас есть система уравнений:
- ( a \cdot b = 30 )
- ( a^2 + b^2 = 122 )
Из первого уравнения выразим ( b ):
[
b = \frac{30}{a}
]
Подставим это выражение во второе уравнение:
[
a^2 + \left( \frac{30}{a} \right)^2 = 122
]
Упростим это уравнение:
[
a^2 + \frac{900}{a^2} = 122
]
Умножим обе стороны на ( a^2 ) (при условии, что ( a \neq 0 )):
[
a^4 - 122a^2 + 900 = 0
]
Обозначим ( x = a^2 ). Тогда уравнение принимает вид:
[
x^2 - 122x + 900 = 0
]
Теперь найдем дискриминант:
[
D = (-122)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 900 = 14884 - 3600 = 11284
]
Теперь найдём корни уравнения:
[
x = \frac{122 \pm \sqrt{11284}}{2}
]
Вычислим корень дискриминанта:
[
\sqrt{11284} = 106.206 \quad (\text{примерно})
]
Теперь подставляем значение в формулу для нахождения корней:
[
x_1 = \frac{122 + 106.206}{2} \approx \frac{228.206}{2} \approx 114.103
]
[
x_2 = \frac{122 - 106.206}{2} \approx \frac{15.794}{2} \approx 7.897
]
Теперь найдем возможные значения ( a ):
[
a^2_1 \approx 114.103 \quad \Rightarrow \quad a_1 \approx \sqrt{114.103} \approx 10.68
]
[
a^2_2 \approx 7.897 \quad \Rightarrow \quad a_2 \approx \sqrt{7.897} \approx 2.81
]
Теперь найдём соответствующие значения ( b ):
Для ( a_1 ):
[
b_1 = \frac{30}{a_1} \approx \frac{30}{10.68} \approx 2.81
]
Для ( a_2 ):
[
b_2 = \frac{30}{a_2} \approx \frac{30}{2.81} \approx 10.68
]
Таким образом, стороны прямоугольника равны:
[
a \approx 10.68 , \text{см}, \quad b \approx 2.81 , \text{см}
]
или
[
a \approx 2.81 , \text{см}, \quad b \approx 10.68 , \text{см}
]
В итоге, стороны прямоугольника примерно ( 10.68 , \text{см} ) и ( 2.81 , \text{см} ).
