Дано:
- Радиус кривизны моста (R = 128 , \text{м})
- Сила, с которой автомобиль давит на мост, на 20% меньше силы тяжести.
Пусть (m) — масса автомобиля, тогда модуль силы тяжести (F_g) равен:
[
F_g = mg
]
где (g \approx 9.81 , \text{м/с}^2) — ускорение свободного падения.
Сила, с которой автомобиль давит на мост, составляет 80% от силы тяжести:
[
F_N = F_g - 0.2F_g = 0.8F_g = 0.8mg
]
На верхней точке моста действуют два усилия: сила тяжести (F_g) и нормальная сила (F_N). По второму закону Ньютона для кругового движения (принимаем вниз направление положительным):
[
F_g - F_N = \frac{mv^2}{R}
]
Подставим выражения для сил:
[
mg - 0.8mg = \frac{mv^2}{R}
]
Упростим уравнение:
[
0.2mg = \frac{mv^2}{R}
]
Сократим (m) с обеих сторон (при (m \neq 0)):
[
0.2g = \frac{v^2}{R}
]
Подставим известные значения:
[
0.2 \cdot 9.81 , \text{м/с}^2 = \frac{v^2}{128 , \text{м}}
]
Посчитаем:
[
1.962 = \frac{v^2}{128}
]
Умножим обе стороны на 128:
[
1.962 \cdot 128 = v^2
]
[
v^2 = 251.136
]
Теперь найдём скорость (v):
[
v = \sqrt{251.136} \approx 15.84 , \text{м/с}
]
Ответ:
Модуль скорости автомобиля равен примерно (15.84 , \text{м/с}).
