Дано:
- Радиус кривизны моста ( R = 128 , \text{м} )
- Сила, давящая на мост в верхней точке, составляет 20% меньше силы тяжести, действующей на автомобиль.
Обозначим:
- ( m ) - массу автомобиля.
- Сила тяжести ( F_g = m \cdot g ), где ( g \approx 9.81 , \text{м/с}^2 ).
- Сила, давящая на мост ( F_N = F_g - 0.2 \cdot F_g = 0.8 \cdot F_g = 0.8 \cdot m \cdot g ).
В верхней точке моста сила нормального давления, действующая на автомобиль, связана с центростремительным ускорением автомобиля, движущегося по дуге. Центростремительное ускорение можно выразить как:
[
a_c = \frac{v^2}{R}
]
где ( v ) - скорость автомобиля. В верхней точке моста сумма нормальной силы и силы тяжести должна уравновешивать центростремительное ускорение:
[
F_N + F_g = m \cdot a_c
]
Подставим известные величины:
[
0.8 \cdot m \cdot g + m \cdot g = m \cdot \frac{v^2}{R}
]
Соберем подобные слагаемые:
[
(0.8 + 1) \cdot m \cdot g = m \cdot \frac{v^2}{R}
]
Упростим уравнение, сократив ( m ):
[
1.8 \cdot g = \frac{v^2}{R}
]
Теперь выразим скорость ( v ):
[
v^2 = 1.8 \cdot g \cdot R
]
Подставим значения ( g \approx 9.81 , \text{м/с}^2 ) и ( R = 128 , \text{м} ):
[
v^2 = 1.8 \cdot 9.81 \cdot 128
]
Теперь вычислим:
[
v^2 \approx 1.8 \cdot 9.81 \cdot 128 \approx 1.8 \cdot 1255.68 \approx 2260.224
]
Теперь найдем ( v ):
[
v \approx \sqrt{2260.224} \approx 47.6 , \text{м/с}
]
Ответ:
Модуль скорости автомобиля составляет примерно ( 47.6 , \text{м/с} ).
