Чтобы найти частоту вращения диска, начнем с данных, которые у нас есть.
- Линейная скорость в точке A, ( v_A = 4.2 ) м/с.
- Линейная скорость в точке B, ( v_B = 1.7 ) м/ч. Преобразуем это значение в м/с:
[
v_B = \frac{1.7}{3600} \approx 0.0004722 \text{ м/с}.
]
- Разность радиусов ( \Delta R = 15 ) см = 0.15 м (так как( 1 см = 0.01 м )).
Поскольку диск вращается равномерно, линейная скорость и радиус связаны следующим образом:
[
v = \omega R,
]
где ( \omega ) — угловая скорость (в радианах в секунду), а ( R ) — радиус на котором измеряется линейная скорость.
Сначала найдем угловую скорость через точку A:
[
\omega = \frac{v_A}{R_A},
]
где ( R_A ) — радиус в точке A.
Теперь найдем угловую скорость через точку B:
[
\omega = \frac{v_B}{R_B},
]
где ( R_B = R_A - \Delta R ).
Так как угловая скорость в обеих точках должна быть одинаковой:
[
\frac{v_A}{R_A} = \frac{v_B}{R_B}.
]
Подставим известные значения:
[
\frac{4.2}{R_A} = \frac{0.0004722}{R_A - 0.15}.
]
Теперь выразим ( R_A ):
[
4.2(R_A - 0.15) = 0.0004722 R_A.
]
Решим это уравнение:
[
4.2 R_A - 0.63 = 0.0004722 R_A,
]
[
4.2 R_A - 0.0004722 R_A = 0.63,
]
[
(4.2 - 0.0004722) R_A = 0.63,
]
[
4.1995278 R_A = 0.63,
]
[
R_A \approx \frac{0.63}{4.1995278} \approx 0.15026 \text{ м}.
]
Теперь подставляем ( R_A ) для вычисления угловой скорости:
[
\omega = \frac{v_A}{R_A} = \frac{4.2}{0.15026} \approx 27.92 \text{ рад/с}.
]
Теперь, чтобы найти частоту вращения ( f ), мы знаем, что:
[
f = \frac{\omega}{2\pi} \approx \frac{27.92}{2\pi} \approx 4.44 \text{ Гц}.
]
Таким образом, частота вращения диска составляет приблизительно 4.44 Гц.
