Чтобы найти координаты точек пересечения параболы ( y = x^2 - 2 ) и прямой ( y - 2x = 1 ), сначала выразим ( y ) из уравнения прямой:
[
y = 2x + 1
]
Теперь подставим это выражение для ( y ) в уравнение параболы:
[
2x + 1 = x^2 - 2
]
Переносим все члены в одно уравнение:
[
x^2 - 2x - 3 = 0
]
Теперь решим это квадратное уравнение. Чтобы найти корни, можно использовать формулу дискриминанта:
[
D = b^2 - 4ac
]
Здесь ( a = 1 ), ( b = -2 ), ( c = -3 ):
[
D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16
]
Так как дискриминант положительный, у уравнения есть два различных корня. Находим их с помощью формулы корней квадратного уравнения:
[
x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm 4}{2}
]
Таким образом, получаем:
[
x_1 = \frac{6}{2} = 3, \quad x_2 = \frac{-2}{2} = -1
]
Теперь подставим ( x_1 ) и ( x_2 ) обратно в уравнение прямой, чтобы найти соответствующие значения ( y ):
Для ( x_1 = 3 ):
[
y_1 = 2 \cdot 3 + 1 = 6 + 1 = 7
]
Для ( x_2 = -1 ):
[
y_2 = 2 \cdot (-1) + 1 = -2 + 1 = -1
]
Таким образом, координаты точек пересечения:
- ((3, 7))
- ((-1, -1))
Ответ: точки пересечения имеют координаты ((3, 7)) и ((-1, -1)).
