Давайте решим данные неравенства:
- (2x^2 + 8x \leq 0)
Решим это квадратное неравенство:
Найдем нули квадратного трехчлена: (2x(x + 4) = 0).
Решения: (x = 0) и (x = -4).
Интервалы:
- (x \in (-\infty, -4))
- (x \in (-4, 0))
- (x \in (0, \infty))
Знаки на интервалах:
- На ((-4, 0)): (2x(x + 4) < 0) (так как между корнями функции)
Следовательно, решение: (x \in [-4, 0]).
- Решим систему неравенств:
[
\begin{cases}
3x - 10 \leq 0 \
x^2 - 4x - 12 \leq 0
\end{cases}
]
Решение каждого неравенства отдельно:
a) (3x - 10 \leq 0)
Решение: (x \leq \frac{10}{3}).
b) (x^2 - 4x - 12 \leq 0)
Найдем корни уравнения: (x^2 - 4x - 12 = 0).
Дискриминант (D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64).
Корни: (x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{4 \pm 8}{2}).
Корни: (x_1 = 6), (x_2 = -2).
Интервалы:
- (x \in (-\infty, -2))
- (x \in (-2, 6))
- (x \in (6, \infty))
Знаки на интервалах:
- На ((-2, 6)): (x^2 - 4x - 12 < 0)
Следовательно, решение: (x \in [-2, 6]).
Теперь найдем пересечение решений:
- (x \leq \frac{10}{3})
- (x \in [-2, 6])
Пересечение: (x \in [-2, \frac{10}{3}]).
Таким образом, решение системы: (x \in [-2, \frac{10}{3}]).
