реши данные неравенства
Давайте решим данные неравенства:
- \(2x^2 + 8x \leq 0\)
Решим это квадратное неравенство:
Найдем нули квадратного трехчлена: \(2x(x + 4) = 0\).
Решения: \(x = 0\) и \(x = -4\).
Интервалы:
- \(x \in (-\infty, -4)\)
- \(x \in (-4, 0)\)
- \(x \in (0, \infty)\)
Знаки на интервалах:
- На \((-4, 0)\): \(2x(x + 4) < 0\) (так как между корнями функции)
Следовательно, решение: \(x \in [-4, 0]\).
- Решим систему неравенств:
\[ \begin{cases} 3x - 10 \leq 0 \\ x^2 - 4x - 12 \leq 0 \end{cases} \]
Решение каждого неравенства отдельно:
a) \(3x - 10 \leq 0\)
Решение: \(x \leq \frac{10}{3}\).
b) \(x^2 - 4x - 12 \leq 0\)
Найдем корни уравнения: \(x^2 - 4x - 12 = 0\).
Дискриминант \(D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64\).
Корни: \(x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{4 \pm 8}{2}\).
Корни: \(x_1 = 6\), \(x_2 = -2\).
Интервалы:
- \(x \in (-\infty, -2)\)
- \(x \in (-2, 6)\)
- \(x \in (6, \infty)\)
Знаки на интервалах:
- На \((-2, 6)\): \(x^2 - 4x - 12 < 0\)
Следовательно, решение: \(x \in [-2, 6]\).
Теперь найдем пересечение решений:
- \(x \leq \frac{10}{3}\)
- \(x \in [-2, 6]\)
Пересечение: \(x \in [-2, \frac{10}{3}]\).
Таким образом, решение системы: \(x \in [-2, \frac{10}{3}]\).
