Угол сдвига фаз между двумя синусоидальными напряжениями измеряется с помощью электронно-лучевого осциллографа методом эллипса. При этом искомый угол рассчитывается по формуле: (…
Угол сдвига фаз между двумя синусоидальными напряжениями измеряется с помощью электронно-лучевого осциллографа методом эллипса. При этом искомый угол рассчитывается по формуле: ( = arcsin (H1 / H2), где H1 — расстояние между точками пересечения эллипса с вертикальной секущей, проведенной через центр эллипса, H2 – высота прямоугольника, в который вписывается эллипс. Измеренные значения — H1 = 40 мм, H2 = 50 мм. Толщина луча осциллографа — b = 1 мм. Полагая, что существенна только визуальная погрешность измерения (т.е. погрешность измерения расстояний, предельное значение которой (в.п = 0,4 ( b), представить результат измерения угла сдвига фаз в виде доверительного интервала для доверительной вероятности, равной 1.
Для начала рассчитаем угол сдвига фаз по заданной формуле:
\[ \phi = \arcsin\left(\frac{H1}{H2}\right) \]
Подставим наши значения:
\[ H1 = 40 \text{ мм}, \quad H2 = 50 \text{ мм} \]
\[ \phi = \arcsin\left(\frac{40}{50}\right) = \arcsin(0.8) \]
Теперь найдем значение угла \(\phi\). Обычно \(\arcsin(0.8) \approx 53.13^\circ\).
Теперь учтем влияние погрешности измерения. Погрешность измерения расстояний определена как:
\[ \Delta H = v_p = 0.4 \cdot b = 0.4 \cdot 1 \text{ мм} = 0.4 \text{ мм} \]
Это значение будет касаться как \(H1\), так и \(H2\). Получаем:
\[ H1_{\text{min}} = H1 - \Delta H = 40 - 0.4 = 39.6 \text{ мм} \] \[ H1_{\text{max}} = H1 + \Delta H = 40 + 0.4 = 40.4 \text{ мм} \] \[ H2_{\text{min}} = H2 - \Delta H = 50 - 0.4 = 49.6 \text{ мм} \] \[ H2_{\text{max}} = H2 + \Delta H = 50 + 0.4 = 50.4 \text{ мм} \]
Теперь рассчитаем границы для угла сдвига фаз:
Нижняя граница:
\[ \phi_{\text{min}} = \arcsin\left(\frac{H1_{\text{min}}}{H2_{\text{max}}}\right) = \arcsin\left(\frac{39.6}{50.4}\right) \]
Верхняя граница:
\[ \phi_{\text{max}} = \arcsin\left(\frac{H1_{\text{max}}}{H2_{\text{min}}}\right) = \arcsin\left(\frac{40.4}{49.6}\right) \]
Теперь найдем численные значения этих углов:
\[ \phi_{\text{min}} = \arcsin\left(\frac{39.6}{50.4}\right) \approx \arcsin(0.7857) \approx 51.62^\circ \] \[ \phi_{\text{max}} = \arcsin\left(\frac{40.4}{49.6}\right) \approx \arcsin(0.8153) \approx 54.83^\circ \]
В итоге, угол сдвига фаз с учетом погрешности измерения можно представить в виде доверительного интервала:
\[ \phi \in [51.62^\circ, 54.83^\circ] \]
Таким образом, указываем результат измерения угла сдвига фаз как доверительный интервал:
\[ \phi \in [51.62^\circ, 54.83^\circ] \]
