Угол сдвига фаз между двумя синусоидальными напряжениями измеряется с помощью электронно-лучевого осциллографа методом эллипса. При этом искомый угол рассчитывается по формуле: (…
Угол сдвига фаз между двумя синусоидальными напряжениями измеряется с помощью электронно-лучевого осциллографа методом эллипса. При этом искомый угол рассчитывается по формуле: ( = arcsin (H1 / H2), где H1 — расстояние между точками пересечения эллипса с вертикальной секущей, проведенной через центр эллипса, H2 – высота прямоугольника, в который вписывается эллипс. Измеренные значения — H1 = 40 мм, H2 = 50 мм. Толщина луча осциллографа — b = 1 мм. Полагая, что существенна только визуальная погрешность измерения (т.е. погрешность измерения расстояний, предельное значение которой ∆в.п = 0,4 ( b), представить результат измерения угла сдвига фаз в виде доверительного интервала для доверительной вероятности, равной 1.
Для вычисления угла сдвига фаз и его доверительного интервала, давайте сначала рассчитаем угол по заданной формуле и затем определим его погрешность.
Расчет угла сдвига фаз: \[ \phi = \arcsin\left(\frac{H1}{H2}\right) = \arcsin\left(\frac{40 \, \text{мм}}{50 \, \text{мм}}\right) \] \[ \phi = \arcsin(0.8) \] Используя калькулятор: \[ \phi \approx 53.13^\circ \]
Определение погрешности измерения: У нас есть погрешность измерения для каждого из значений H1 и H2. При этом мы учитываем, что погрешность пропорциональна толщине луча (b): \[ \Delta H1 = 0.4 \cdot b = 0.4 \cdot 1 \, \text{мм} = 0.4 \, \text{мм} \] \[ \Delta H2 = 0.4 \cdot b = 0.4 \cdot 1 \, \text{мм} = 0.4 \, \text{мм} \]
Рассмотрим влияние погрешностей на расчёт угла: Мы можем найти погрешности \(\Delta \phi\) путем применения формулы для распространения ошибок. Поскольку \(\phi\) зависит от H1 и H2, мы можем использовать производные для расчёта:
\[ \Delta \phi \approx \sqrt{\left(\frac{\partial \phi}{\partial H1} \Delta H1\right)^2 + \left(\frac{\partial \phi}{\partial H2} \Delta H2\right)^2} \]
Чтобы найти производные, используем: \[ \frac{\partial \phi}{\partial H1} = \frac{1}{\sqrt{1 - \left(\frac{H1}{H2}\right)^2}} \cdot \frac{1}{H2} \] \[ \frac{\partial \phi}{\partial H2} = -\frac{H1}{H2^2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - \left(\frac{H1}{H2}\right)^2}} \]
Теперь подставим значения: \[ \frac{\partial \phi}{\partial H1} = \frac{1}{\sqrt{1 - 0.8^2}} \cdot \frac{1}{50} = \frac{1}{\sqrt{0.36}} \cdot \frac{1}{50} \approx \frac{1}{0.6 \cdot 50} \approx \frac{1}{30} \approx 0.0333 \, \text{рад/мм} \] \[ \frac{\partial \phi}{\partial H2} = -\frac{40}{50^2} \cdot \frac{1}{\sqrt{0.36}} = -\frac{40}{2500} \cdot \frac{1}{0.6} \approx -0.032 \, \text{рад/мм} \]
Теперь подставим погрешности: \[ \Delta \phi \approx \sqrt{\left(0.0333 \cdot 0.4\right)^2 + \left(-0.032 \cdot 0.4\right)^2} \] \[ \Delta \phi \approx \sqrt{(0.01332)^2 + (0.0128)^2} \approx \sqrt{0.000177 + 0.00016384} \approx \sqrt{0.00034084} \approx 0.0185 \, \text{рад} \]
Преобразование к градусам: \[ \Delta \phi \approx 0.0185 \cdot \frac{180}{\pi} \approx 1.06^\circ \]
Расчет доверительного интервала: Учтём найденную погрешность при расчёте доверительного интервала: \[ \text{Доверительный интервал} = [\phi - \Delta \phi, \phi + \Delta \phi] \approx [53.13 - 1.06, 53.13 + 1.06] \] \[ = [52.07^\circ, 54.19^\circ] \]
Таким образом, итоговый результат для угла сдвига фаз и его доверительный интервал: \[ \phi = 53.13^\circ \quad (52.07^\circ \; \text{до} \; 54.19^\circ) \]
