в прямоугольном треугольнике один из катетов на 3 см меньше гипотенузы, а другой на 6 си меньше гипотенузы. Найдите гипотенузу.
Обозначим гипотенузу треугольника как \( c \). Тогда первый катет можно обозначить как \( a = c - 3 \), а второй катет как \( b = c - 6 \).
По теореме Пифагора, для прямоугольного треугольника выполняется следующее равенство:
\[ a^2 + b^2 = c^2 \]
Подставим выражения для катетов:
\[ (c - 3)^2 + (c - 6)^2 = c^2 \]
Теперь раскроем скобки:
\[ (c^2 - 6c + 9) + (c^2 - 12c + 36) = c^2 \]
Сложим подобные члены:
\[ 2c^2 - 18c + 45 = c^2 \]
Переносим \( c^2 \) влево:
\[ 2c^2 - c^2 - 18c + 45 = 0 \]
Это упрощается до:
\[ c^2 - 18c + 45 = 0 \]
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac = (-18)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 45 = 324 - 180 = 144 \]
Теперь найдём корни:
\[ c = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{18 \pm \sqrt{144}}{2} = \frac{18 \pm 12}{2} \]
Это даёт два возможных значения для \( c \):
- \( c_1 = \frac{30}{2} = 15 \)
- \( c_2 = \frac{6}{2} = 3 \)
Так как гипотенуза не может быть меньше длины катетов, оставляем только \( c = 15 \).
Таким образом, гипотенуза равна \( 15 \) см.
