Обозначим гипотенузу треугольника как ( c ). Тогда первый катет можно обозначить как ( a = c - 3 ), а второй катет как ( b = c - 6 ).
По теореме Пифагора, для прямоугольного треугольника выполняется следующее равенство:
[
a^2 + b^2 = c^2
]
Подставим выражения для катетов:
[
(c - 3)^2 + (c - 6)^2 = c^2
]
Теперь раскроем скобки:
[
(c^2 - 6c + 9) + (c^2 - 12c + 36) = c^2
]
Сложим подобные члены:
[
2c^2 - 18c + 45 = c^2
]
Переносим ( c^2 ) влево:
[
2c^2 - c^2 - 18c + 45 = 0
]
Это упрощается до:
[
c^2 - 18c + 45 = 0
]
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
[
D = b^2 - 4ac = (-18)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 45 = 324 - 180 = 144
]
Теперь найдём корни:
[
c = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{18 \pm \sqrt{144}}{2} = \frac{18 \pm 12}{2}
]
Это даёт два возможных значения для ( c ):
- ( c_1 = \frac{30}{2} = 15 )
- ( c_2 = \frac{6}{2} = 3 )
Так как гипотенуза не может быть меньше длины катетов, оставляем только ( c = 15 ).
Таким образом, гипотенуза равна ( 15 ) см.
