Чтобы решить уравнение ( 15y^2 + 17 = 15(y + 1)^2 ) методом дискриминанта, сначала преобразуем это уравнение.
- Раскроем скобки на правой стороне уравнения:
[
15(y + 1)^2 = 15(y^2 + 2y + 1) = 15y^2 + 30y + 15
]
Таким образом, уравнение становится:
[
15y^2 + 17 = 15y^2 + 30y + 15
]
- Переносим все элементы на одну сторону:
[
15y^2 + 17 - 15y^2 - 30y - 15 = 0
]
Это упрощается до:
[
-30y + 2 = 0
]
- Теперь упростим уравнение:
[
30y = 2 \Rightarrow y = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}
]
- У нас получилось одно решение ( y = \frac{1}{15} ).
Однако, если вы хотите использовать дискриминант (можно сделать это с более полным уравнением), давайте перепишем уравнение:
[
15y^2 - 30y + 2 = 0
]
Теперь найдем дискриминант ( D ):
[
D = b^2 - 4ac = (-30)^2 - 4 \cdot 15 \cdot 2 = 900 - 120 = 780
]
Теперь, поскольку дискриминант положителен, у нас есть два различных действительных корня.
- Теперь находим корни уравнения по формуле корней квадратного уравнения:
[
y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-30) \pm \sqrt{780}}{2 \cdot 15} = \frac{30 \pm \sqrt{780}}{30}
]
Чтобы более просто работать с корнями, можем выразить (\sqrt{780}) как ( \sqrt{4 \cdot 195} = 2\sqrt{195} ), тогда получаем:
[
y = \frac{30 \pm 2\sqrt{195}}{30} = 1 \pm \frac{\sqrt{195}}{15}
]
Таким образом, окончательные корни уравнения:
[
y_1 = 1 + \frac{\sqrt{195}}{15}, \quad y_2 = 1 - \frac{\sqrt{195}}{15}
]
Это решения вашего уравнения.
