Для решения уравнения (\frac{4x^2 - 1}{3} = x(10x - 9)) начнем с его преобразования.
- Умножим обе стороны уравнения на 3, чтобы избавиться от знаменателя:
[
4x^2 - 1 = 3x(10x - 9)
]
- Раскроем скобки на правой стороне:
[
4x^2 - 1 = 30x^2 - 27x
]
- Переносим все члены в одну сторону, чтобы привести уравнение к стандартному виду:
[
4x^2 - 30x^2 + 27x - 1 = 0
]
Это уравнение можно упростить:
[
-26x^2 + 27x - 1 = 0
]
Умножим обе стороны на -1 для упрощения:
[
26x^2 - 27x + 1 = 0
]
Теперь мы имеем квадратное уравнение (ax^2 + bx + c = 0), где (a = 26), (b = -27), (c = 1).
- Найдем дискриминант (D):
[
D = b^2 - 4ac = (-27)^2 - 4 \cdot 26 \cdot 1 = 729 - 104 = 625
]
- Так как дискриминант положителен ((D > 0)), уравнение имеет два различных корня, которые можно найти по формуле:
[
x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}
]
Подставим наши значения:
[
x_{1,2} = \frac{27 \pm \sqrt{625}}{2 \cdot 26} = \frac{27 \pm 25}{52}
]
Теперь найдем оба корня:
- Для (x_1):
[
x_1 = \frac{27 + 25}{52} = \frac{52}{52} = 1
]
- Для (x_2):
[
x_2 = \frac{27 - 25}{52} = \frac{2}{52} = \frac{1}{26}
]
Таким образом, решение уравнения:
[
x_1 = 1, \quad x_2 = \frac{1}{26}
]
