Разложение квадратного трехчлена на множители:
1. Разложите на множители:
a) ( 9x^2 - 60x + 10 )
Сначала найдем дискриминант:
[
D = b^2 - 4ac = (-60)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 10 = 3600 - 360 = 3240
]
Корни:
[
x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{60 + \sqrt{3240}}{18}
]
[
x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{60 - \sqrt{3240}}{18}
]
Формула для разложения:
[
9(x - x_1)(x - x_2)
]
b) ( 8 - 2x - x^2 )
Переписываем:
[
-x^2 - 2x + 8 = -(x^2 + 2x - 8)
]
Запишем как произведение:
[
-(x - 2)(x + 4)
]
c) ( ((x + 2)(x + 4))^2 - 5(x + 2)(x + 4) + 6 )
Обозначим ( t = (x + 2)(x + 4) ):
[
t^2 - 5t + 6 = (t - 2)(t - 3)
]
Возвращаем ( t ):
[
((x + 2)(x + 4) - 2)((x + 2)(x + 4) - 3)
]
d) ( (x^2 + 3x + 1)(x^2 + 3x + 2) - 6 )
Пусть ( y = x^2 + 3x ):
[
(y + 1)(y + 2) - 6 = y^2 + 3y + 2 - 6 = y^2 + 3y - 4 = (y - 1)(y + 4)
]
Возвращаем ( y ):
[
(x^2 + 3x - 1)(x^2 + 3x + 4)
]
2. Вынесение общего множителя за скобки и способ группировки.
a) ( 5x^3 - 5x )
Вынесем общий множитель:
[
5x(x^2 - 1) = 5x(x - 1)(x + 1)
]
b) ( 2x^2 + 3x + 1 )
Дискриминант:
[
D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 1
]
Корни:
[
x_1 = \frac{-3 + 1}{4} = -\frac{1}{2}, \quad x_2 = \frac{-3 - 1}{4} = -1
]
Разложение:
[
2\left(x + \frac{1}{2}\right)(x + 1)
]
c) ( x^2 - x^3 + 4 - 4x )
Переписываем:
[
-x^3 + x^2 - 4x + 4 = - (x^3 - x^2 + 4x - 4)
]
Группируем:
[
-[(x^3 - 4) + (x^2 - 4x)]
]
d) ( x^3 + 4x^2 - 5x )
Вынесем общий множитель:
[
x(x^2 + 4x - 5) = x(x - 1)(x + 5)
]
e) ( x^5 + 5x^3 - 6x^2 )
Вынесем общий множитель:
[
x^2(x^3 + 5x - 6)
]
Далее можно разложить куб, если есть возможность
3. Использование формул сокращенного умножения.
a) ( x^3 - 3x^2 - 3x + 1 )
Можно заметить, что функция может быть выражена в виде:
[
(x - 1)^3
]
b) ( x^4 - 2x^3 + 2x^2 - 2x + 1 )
Это полином можно разложить на множители (или проверить на корни). Например:
( (x^2 - x + 1)^2 )
c) ( x^4 - 2x^3 + 2x - 1 )
Скорее всего, это произведение двух квадратов:
[
(x^2 - ax + b)(x^2 - cx + d)
]
d) ( x^4 + 15x^2 + 2x^3 + 14x + 24 )
Подобное разложение требует группировки, нет очевидных корней.
e) ( x^6 + 27 )
Это можно записать как:
[
x^6 + 3^3 = (x^2 + 3)(x^4 - 3x^2 + 9)
]
Это разложение требует группировки по формуле для суммы кубов.
Если нужно более детальное разложение каких-либо из этих примеров, дайте знать!
