Разложение квадратного трехчлена на множители. Разложите на множители: a) 9x ^ 2 - 60x + 10 b) 8 - 2x - x ^ 2 c) ((x + 2)(x + 4)) ^ 2 - 5(x + 2)(x + 4) + 6 d) (x ^ 2 + 3x + 1)(x ^…

Разложение квадратного трехчлена на множители:

1. Разложите на множители:

a) \( 9x^2 - 60x + 10 \)

Сначала найдем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-60)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 10 = 3600 - 360 = 3240 \] Корни: \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{60 + \sqrt{3240}}{18} \] \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{60 - \sqrt{3240}}{18} \] Формула для разложения: \[ 9(x - x_1)(x - x_2) \]

b) \( 8 - 2x - x^2 \)

Переписываем: \[ -x^2 - 2x + 8 = -(x^2 + 2x - 8) \] Запишем как произведение: \[ -(x - 2)(x + 4) \]

c) \( ((x + 2)(x + 4))^2 - 5(x + 2)(x + 4) + 6 \)

Обозначим \( t = (x + 2)(x + 4) \): \[ t^2 - 5t + 6 = (t - 2)(t - 3) \] Возвращаем \( t \): \[ ((x + 2)(x + 4) - 2)((x + 2)(x + 4) - 3) \]

d) \( (x^2 + 3x + 1)(x^2 + 3x + 2) - 6 \)

Пусть \( y = x^2 + 3x \): \[ (y + 1)(y + 2) - 6 = y^2 + 3y + 2 - 6 = y^2 + 3y - 4 = (y - 1)(y + 4) \] Возвращаем \( y \): \[ (x^2 + 3x - 1)(x^2 + 3x + 4) \]

2. Вынесение общего множителя за скобки и способ группировки.

a) \( 5x^3 - 5x \)

Вынесем общий множитель: \[ 5x(x^2 - 1) = 5x(x - 1)(x + 1) \]

b) \( 2x^2 + 3x + 1 \)

Дискриминант: \[ D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 1 \] Корни: \[ x_1 = \frac{-3 + 1}{4} = -\frac{1}{2}, \quad x_2 = \frac{-3 - 1}{4} = -1 \] Разложение: \[ 2\left(x + \frac{1}{2}\right)(x + 1) \]

c) \( x^2 - x^3 + 4 - 4x \)

Переписываем: \[ -x^3 + x^2 - 4x + 4 = - (x^3 - x^2 + 4x - 4) \] Группируем: \[ -[(x^3 - 4) + (x^2 - 4x)] \]

d) \( x^3 + 4x^2 - 5x \)

Вынесем общий множитель: \[ x(x^2 + 4x - 5) = x(x - 1)(x + 5) \]

e) \( x^5 + 5x^3 - 6x^2 \)

Вынесем общий множитель: \[ x^2(x^3 + 5x - 6) \] Далее можно разложить куб, если есть возможность

3. Использование формул сокращенного умножения.

a) \( x^3 - 3x^2 - 3x + 1 \)

Можно заметить, что функция может быть выражена в виде: \[ (x - 1)^3 \]

b) \( x^4 - 2x^3 + 2x^2 - 2x + 1 \)

Это полином можно разложить на множители (или проверить на корни). Например: \( (x^2 - x + 1)^2 \)

c) \( x^4 - 2x^3 + 2x - 1 \)

Скорее всего, это произведение двух квадратов: \[ (x^2 - ax + b)(x^2 - cx + d) \]

d) \( x^4 + 15x^2 + 2x^3 + 14x + 24 \)

Подобное разложение требует группировки, нет очевидных корней.

e) \( x^6 + 27 \)

Это можно записать как: \[ x^6 + 3^3 = (x^2 + 3)(x^4 - 3x^2 + 9) \]

Это разложение требует группировки по формуле для суммы кубов.

Если нужно более детальное разложение каких-либо из этих примеров, дайте знать!