Две бригады, работая одновременно, могут выполнить некоторое задание за 6 час. Одна бригада, работая отдельно, может выполнить это задание на 5 час быстрее, чем вторая. За какое…

Обозначим время, за которое вторая бригада может выполнить задание самостоятельно, как \( t \) часов. Тогда первая бригада выполнит задание за \( t - 5 \) часов.

Работа первой бригады за 1 час составляет \( \frac{1}{t - 5} \), а работа второй бригады за 1 час — \( \frac{1}{t} \). Когда обе бригады работают вместе, их суммарная работа за 1 час будет:

\[ \frac{1}{t - 5} + \frac{1}{t} \]

Согласно условию задачи, обе бригады могут выполнить задание за 6 часов, то есть их суммарная работа за 1 час равна \( \frac{1}{6} \). Запишем это уравнение:

\[ \frac{1}{t - 5} + \frac{1}{t} = \frac{1}{6} \]

Теперь найдём общий знаменатель для левой части уравнения, который будет равен \( t(t - 5) \):

\[ \frac{t + (t - 5)}{t(t - 5)} = \frac{1}{6} \]

Упростим числитель:

\[ \frac{2t - 5}{t(t - 5)} = \frac{1}{6} \]

Теперь перемножим обе части уравнения на \( 6t(t - 5) \):

\[ 6(2t - 5) = t(t - 5) \]

Распределим левые и правые части:

\[ 12t - 30 = t^2 - 5t \]

Переносим все члены в одну сторону уравнения:

\[ t^2 - 17t + 30 = 0 \]

Теперь решим данное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = (-17)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 30 = 289 - 120 = 169 \]

Теперь найдем корни:

\[ t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 \pm \sqrt{169}}{2} = \frac{17 \pm 13}{2} \]

Это даёт два решения:

\[ t_1 = \frac{30}{2} = 15, \quad t_2 = \frac{4}{2} = 2 \]

Так как время не может быть отрицательным и должно быть больше 5 (поскольку первая бригада работает быстрее), мы выбираем \( t = 15 \).

Таким образом, вторая бригада может выполнить задание самостоятельно за 15 часов.