Обозначим время, за которое вторая бригада может выполнить задание самостоятельно, как ( t ) часов. Тогда первая бригада выполнит задание за ( t - 5 ) часов.
Работа первой бригады за 1 час составляет ( \frac{1}{t - 5} ), а работа второй бригады за 1 час — ( \frac{1}{t} ). Когда обе бригады работают вместе, их суммарная работа за 1 час будет:
[
\frac{1}{t - 5} + \frac{1}{t}
]
Согласно условию задачи, обе бригады могут выполнить задание за 6 часов, то есть их суммарная работа за 1 час равна ( \frac{1}{6} ). Запишем это уравнение:
[
\frac{1}{t - 5} + \frac{1}{t} = \frac{1}{6}
]
Теперь найдём общий знаменатель для левой части уравнения, который будет равен ( t(t - 5) ):
[
\frac{t + (t - 5)}{t(t - 5)} = \frac{1}{6}
]
Упростим числитель:
[
\frac{2t - 5}{t(t - 5)} = \frac{1}{6}
]
Теперь перемножим обе части уравнения на ( 6t(t - 5) ):
[
6(2t - 5) = t(t - 5)
]
Распределим левые и правые части:
[
12t - 30 = t^2 - 5t
]
Переносим все члены в одну сторону уравнения:
[
t^2 - 17t + 30 = 0
]
Теперь решим данное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
[
D = b^2 - 4ac = (-17)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 30 = 289 - 120 = 169
]
Теперь найдем корни:
[
t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 \pm \sqrt{169}}{2} = \frac{17 \pm 13}{2}
]
Это даёт два решения:
[
t_1 = \frac{30}{2} = 15, \quad t_2 = \frac{4}{2} = 2
]
Так как время не может быть отрицательным и должно быть больше 5 (поскольку первая бригада работает быстрее), мы выбираем ( t = 15 ).
Таким образом, вторая бригада может выполнить задание самостоятельно за 15 часов.
