Установите соответствие между функцией и её областью определения:
Для функции \( y = \frac{1}{\sqrt{3-x} - \sqrt{x-1}} \), нужно определить область определения.
Обозначим подкоренные выражения:
\( \sqrt{3-x} \) определена, когда \( 3-x \geq 0 \), то есть \( x \leq 3 \).
\( \sqrt{x-1} \) определена, когда \( x-1 \geq 0 \), то есть \( x \geq 1 \).
Таким образом, пересечением этих условий является \( 1 \leq x \leq 3 \).
Теперь рассмотрим выражение \( \sqrt{3-x} - \sqrt{x-1} \). Оно не должно равняться нулю, так как находится в знаменателе:
\[ \sqrt{3-x} = \sqrt{x-1} \]
Возведем обе части в квадрат:
\[ 3-x = x-1 \]
Решим уравнение:
\[ 3-x = x-1 \\ 3 = 2x - 1 \\ 2x = 4 \\ x = 2 \]
Таким образом, при \( x = 2 \) знаменатель обращается в ноль, и \( x = 2 \) нужно исключить из области определения.
Итоговая область определения: \( x \in [1, 2) \cup (2, 3] \).
Это соответствует номеру 3 на изображении: \( x \in (0, 1) \cup (1, 3) \), которая, скорее всего, ошибка. Верный вариант был бы \( x \in [1, 2) \cup (2, 3] \).
