Для функции ( y = \frac{1}{\sqrt{3-x} - \sqrt{x-1}} ), нужно определить область определения.
Обозначим подкоренные выражения:
( \sqrt{3-x} ) определена, когда ( 3-x \geq 0 ), то есть ( x \leq 3 ).
( \sqrt{x-1} ) определена, когда ( x-1 \geq 0 ), то есть ( x \geq 1 ).
Таким образом, пересечением этих условий является ( 1 \leq x \leq 3 ).
Теперь рассмотрим выражение ( \sqrt{3-x} - \sqrt{x-1} ). Оно не должно равняться нулю, так как находится в знаменателе:
[
\sqrt{3-x} = \sqrt{x-1}
]
Возведем обе части в квадрат:
[
3-x = x-1
]
Решим уравнение:
[
3-x = x-1 \
3 = 2x - 1 \
2x = 4 \
x = 2
]
Таким образом, при ( x = 2 ) знаменатель обращается в ноль, и ( x = 2 ) нужно исключить из области определения.
Итоговая область определения: ( x \in [1, 2) \cup (2, 3] ).
Это соответствует номеру 3 на изображении: ( x \in (0, 1) \cup (1, 3) ), которая, скорее всего, ошибка. Верный вариант был бы ( x \in [1, 2) \cup (2, 3] ).
