Установите соответствие между характером монотонности и выпуклости функции y = -х3 +1,5x2 +6х -2 и интервалами из области её определения: Выберите… При х€( 0; 1,5) Выберите... При…

Для нахождения характера монотонности и выпуклости функции \( y = -x^3 + 1.5x^2 + 6x - 2 \), необходимо вычислить её первую и вторую производные и затем проанализировать их знаки на заданных интервалах.

1. Первая производная (для монотонности): \[ y' = -3x^2 + 3x + 6 \]

2. Вторая производная (для выпуклости): \[ y'' = -6x + 3 \]

Теперь проанализируем каждый интервал:

• При \(x \in (0; 1.5)\):

  • \(y' = -3x^2 + 3x + 6\) возможно отрицательна или положительна в этом интервале, нужно решение уравнения.
  • \(y'' = -6x + 3\) отрицательная, \(y''(1) = -6 \cdot 1 + 3 < 0\), функция выпукла вниз.

• При \(x \in (-2; 0)\):

  • \(y'\) может быть положительна.
  • \(y'' = -6x + 3\) положительна, \(y''(-1) = -6 \cdot (-1) + 3 > 0\), функция выпукла вверх.

• При \(x \in (1; 10)\):

  • \(y'\) может быть отрицательна.
  • \(y'' = -6x + 3\) отрицательна, \(y''(5) = -6 \cdot 5 + 3 < 0\), функция выпукла вниз и монотонно убывает.

• При \(x \in (-10; -1.5)\):

  • \(y'\) отрицательна.
  • \(y'' = -6x + 3\) положительна, функция выпукла вверх и монотонно убывает.

Теперь связываем это с вариантами:

• При \(x \in (0; 1.5)\): Функция выпукла вниз.
• При \(x \in (-2; 0)\): Функция выпукла вверх.
• При \(x \in (1; 10)\): Функция выпукла вниз и монотонно убывает.
• При \(x \in (-10; -1.5)\): Функция выпукла вверх и монотонно убывает.