Установите соответствие между характером монотонности и выпуклости функции y = х3 +1,5x2 -6х -2 и интервалами из области её определения: Выберите … При х €( 0; 2) Выберите... При…
Установите соответствие между характером монотонности и выпуклости функции y = х3 +1,5x2 -6х -2 и интервалами из области её определения: Выберите … При х €( 0; 2) Выберите... При х€(-1,5; 0,5) Выберите... При х €(-10; -1) Выберите... При х €(1,5; 10)
Чтобы определить характер монотонности и выпуклости функции \( y = x^3 + 1.5x^2 - 6x - 2 \), нужно проанализировать производные.
Первая производная: \[ y' = 3x^2 + 3x - 6 \] Решим \( y' = 0 \) для нахождения критических точек.
Вторая производная: \[ y'' = 6x + 3 \] Решим \( y'' = 0 \) для нахождения точек перегиба.
Теперь анализируем интервалы:
- При \( x \in (0; 2) \):
- Подставим, например, \( x = 1 \) в первую производную: \( y'(1) = 3(1)^2 + 3(1) - 6 = 0 \). На интервалах около этой точки проверяем знак. Положительное значение значит возрастание, отрицательное — убывание.
- Проверим вторую производную: \( y''(1) = 6(1) + 3 = 9 \). Положительное значение значит выпуклость вверх.
Значит, для \( x \in (0; 2) \) функция выпукла вверх и монотонно возрастает.
- При \( x \in (-1,5; 0,5) \):
- Подставим, например, \( x = 0 \) в первую производную: \( y'(0) = -6 \). Отрицательное значение значит убывание.
- Проверим вторую производную: \( y''(0) = 3 \). Положительное значение значит выпуклость вверх.
Значит, для \( x \in (-1,5; 0,5) \) функция выпукла вверх и монотонно убывает.
- При \( x \in (-10; -1) \):
- Подставим, например, \( x = -2 \) в первую производную: \( y'(-2) = 3(-2)^2 + 3(-2) - 6 = 0 \). На интервалах около этой точки проверяем знак.
- Проверим вторую производную: \( y''(-2) = 6(-2) + 3 = -9 \). Отрицательное значение значит выпуклость вниз.
Значит, для \( x \in (-10; -1) \) функция выпукла вниз и монотонно убывает.
- При \( x \in (1,5; 10) \):
- Подставим, например, \( x = 5 \) в первую производную: \( y'(5) = 3(5)^2 + 3(5) - 6 \). Положительное значение значит возрастание.
- Проверим вторую производную: \( y''(5) = 6(5) + 3 = 33 \). Положительное значение значит выпуклость вверх.
Значит, для \( x \in (1,5; 10) \) функция выпукла вверх и монотонно возрастает.
Таким образом, соответствия:
- \( x \in (0; 2) \): выпукла вверх и монотонно возрастает.
- \( x \in (-1,5; 0,5) \): выпукла вверх и монотонно убывает.
- \( x \in (-10; -1) \): выпукла вниз и монотонно убывает.
- \( x \in (1,5; 10) \): выпукла вверх и монотонно возрастает.
