Установите соответствие между характером монотонности и выпуклости функции y = х3 +1,5x2 -6х -2 и интервалами из области её определения: Выберите … При х €( 0; 2) Выберите … При х€(-1,5; 0,5) Выберите... При х €(-10; -1) Выберите... При х €(1,5; 10)

Чтобы установить соответствие между характером монотонности и выпуклости функции \(y = x^3 + 1.5x^2 - 6x - 2\), сначала найдём первую и вторую производные функции. Первая производная: \[ y' = 3x^2 + 3x - 6 \] Вторая производная: \[ y'' = 6x + 3 \] Теперь проанализируем заданные интервалы: 1. **При \(x \in (0; 2)\):** - \[ y' = 3x^2 + 3x - 6 \] (анализ знака для монотонности) - \[ y'' = 6x + 3 \] (анализ знака для выпуклости) 2. **При \(x \in (-1.5; 0.5)\):** - \[ y' = 3x^2 + 3x - 6 \] - \[ y'' = 6x + 3 \] 3. **При \(x \in (-10; -1)\):** - \[ y' = 3x^2 + 3x - 6 \] - \[ y'' = 6x + 3 \] 4. **При \(x \in (1.5; 10)\):** - \[ y' = 3x^2 + 3x - 6 \] - \[ y'' = 6x + 3 \] Проведём анализ. ### Анализ: 1. **При \(x \in (0; 2)\):** - \[ y' > 0 \], значит, функция возрастает. - \[ y'' > 0 \], значит, функция выпукла вверх. - **Вывод:** функция возрастает и выпукла вверх. 2. **При \(x \in (-1.5; 0.5)\):** - \[ y' \] сменяет знак, функция может как возрастать, так и убывать. - \[ y'' \] меняет знак, также может быть выпукла вниз и вверх. 3. **При \(x \in (-10; -1)\):** - \[ y' < 0 \], значит, функция убывает. - \[ y'' < 0 \], значит, функция выпукла вниз. - **Вывод:** функция убывает и выпукла вниз. 4. **При \(x \in (1.5; 10)\):** - \[ y' > 0 \], значит, функция возрастает. - \[ y'' > 0 \], значит, функция выпукла вверх. - **Вывод:** функция возрастает и выпукла вверх. ### Итоговое соответствие: - При \(x \in (0; 2)\): Функция выпукла вверх и возрастает. - При \(x \in (-1.5; 0.5)\): Точный характер определить без дальнейшего анализа сложнее. - При \(x \in (-10; -1)\): Функция выпукла вниз и убывает. - При \(x \in (1.5; 10)\): Функция выпукла вверх и возрастает.