Установите соответствие между характером монотонности и выпуклости функции y = х3 +1,5x2 -6х -2 и интервалами из области её определения: Выберите … При х €( 0; 2) Выберите … При…

Чтобы установить соответствие между характером монотонности и выпуклости функции \(y = x^3 + 1.5x^2 - 6x - 2\), сначала найдём первую и вторую производные функции.

Первая производная: \[ y' = 3x^2 + 3x - 6 \]

Вторая производная: \[ y'' = 6x + 3 \]

Теперь проанализируем заданные интервалы:

1. При \(x \in (0; 2)\):

   • \[ y' = 3x^2 + 3x - 6 \] (анализ знака для монотонности)
   • \[ y'' = 6x + 3 \] (анализ знака для выпуклости)

2. При \(x \in (-1.5; 0.5)\):

   • \[ y' = 3x^2 + 3x - 6 \]
   • \[ y'' = 6x + 3 \]

3. При \(x \in (-10; -1)\):

   • \[ y' = 3x^2 + 3x - 6 \]
   • \[ y'' = 6x + 3 \]

4. При \(x \in (1.5; 10)\):

   • \[ y' = 3x^2 + 3x - 6 \]
   • \[ y'' = 6x + 3 \]

Проведём анализ.

Анализ:

1. При \(x \in (0; 2)\):

   • \[ y' > 0 \], значит, функция возрастает.
   • \[ y'' > 0 \], значит, функция выпукла вверх.
   • Вывод: функция возрастает и выпукла вверх.

2. При \(x \in (-1.5; 0.5)\):

   • \[ y' \] сменяет знак, функция может как возрастать, так и убывать.
   • \[ y'' \] меняет знак, также может быть выпукла вниз и вверх.

3. При \(x \in (-10; -1)\):

   • \[ y' < 0 \], значит, функция убывает.
   • \[ y'' < 0 \], значит, функция выпукла вниз.
   • Вывод: функция убывает и выпукла вниз.

4. При \(x \in (1.5; 10)\):

   • \[ y' > 0 \], значит, функция возрастает.
   • \[ y'' > 0 \], значит, функция выпукла вверх.
   • Вывод: функция возрастает и выпукла вверх.

Итоговое соответствие:

• При \(x \in (0; 2)\): Функция выпукла вверх и возрастает.
• При \(x \in (-1.5; 0.5)\): Точный характер определить без дальнейшего анализа сложнее.
• При \(x \in (-10; -1)\): Функция выпукла вниз и убывает.
• При \(x \in (1.5; 10)\): Функция выпукла вверх и возрастает.