Значение второй производной функции у=0,5x arctgx в точке х0 = -1 c точностью до 0,01 равно:
Чтобы найти значение второй производной функции \( y = 0.5x \cdot \arctan(x) \) в точке \( x_0 = -1 \), сначала найдем первую и вторую производные.
- Первая производная функции \( y \):
Используем правило произведения: \[ y' = u'v + uv', \] где \( u = 0.5x \) и \( v = \arctan(x) \).
Находим \( u' \) и \( v' \): \[ u' = 0.5, \quad v' = \frac{1}{1+x^2}. \]
Теперь подставим значения: \[ y' = 0.5 \cdot \arctan(x) + 0.5x \cdot \frac{1}{1+x^2}. \]
- Вторая производная функции \( y \):
Теперь найдем вторую производную \( y' \). Для этого нам снова пригодится правило произведения и правило дифференцирования.
Пусть: \[ y' = 0.5 \cdot \arctan(x) + 0.5x \cdot \frac{1}{1+x^2}. \]
Сначала найдем производную первого слагаемого: \[ \frac{d}{dx}(0.5 \cdot \arctan(x)) = 0.5 \cdot \frac{1}{1+x^2}. \]
Теперь найдем производную второго слагаемого, снова используя правило произведения: \[ \frac{d}{dx}(0.5x \cdot \frac{1}{1+x^2}) = 0.5 \cdot \frac{1}{1+x^2} + 0.5x \cdot \frac{-2x}{(1+x^2)^2} = 0.5 \cdot \frac{1}{1+x^2} - \frac{x^2}{(1+x^2)^2}. \]
Теперь соберем все слагаемые: \[ y'' = 0.5 \cdot \frac{1}{1+x^2} + \left( 0.5 \cdot \frac{1}{1+x^2} - \frac{x^2}{(1+x^2)^2} \right). \]
- Сложим и упростим: \[ y'' = \frac{1}{1+x^2} - \frac{x^2}{(1+x^2)^2}. \]
Теперь подставим \( x = -1 \): \[ y''(-1) = \frac{1}{1+(-1)^2} - \frac{(-1)^2}{(1+(-1)^2)^2} = \frac{1}{1+1} - \frac{1}{(1+1)^2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{2}{4} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}. \]
Таким образом, значение второй производной функции \( y \) в точке \( x_0 = -1 \) равно \( \frac{1}{4} \) с точностью до 0.01.
