Чтобы найти значение второй производной функции ( y = 0.5x \cdot \arctan(x) ) в точке ( x_0 = -1 ), сначала найдем первую и вторую производные.
- Первая производная функции ( y ):
Используем правило произведения:
[
y' = u'v + uv',
]
где ( u = 0.5x ) и ( v = \arctan(x) ).
Находим ( u' ) и ( v' ):
[
u' = 0.5, \quad v' = \frac{1}{1+x^2}.
]
Теперь подставим значения:
[
y' = 0.5 \cdot \arctan(x) + 0.5x \cdot \frac{1}{1+x^2}.
]
- Вторая производная функции ( y ):
Теперь найдем вторую производную ( y' ). Для этого нам снова пригодится правило произведения и правило дифференцирования.
Пусть:
[
y' = 0.5 \cdot \arctan(x) + 0.5x \cdot \frac{1}{1+x^2}.
]
Сначала найдем производную первого слагаемого:
[
\frac{d}{dx}(0.5 \cdot \arctan(x)) = 0.5 \cdot \frac{1}{1+x^2}.
]
Теперь найдем производную второго слагаемого, снова используя правило произведения:
[
\frac{d}{dx}(0.5x \cdot \frac{1}{1+x^2}) = 0.5 \cdot \frac{1}{1+x^2} + 0.5x \cdot \frac{-2x}{(1+x^2)^2} = 0.5 \cdot \frac{1}{1+x^2} - \frac{x^2}{(1+x^2)^2}.
]
Теперь соберем все слагаемые:
[
y'' = 0.5 \cdot \frac{1}{1+x^2} + \left( 0.5 \cdot \frac{1}{1+x^2} - \frac{x^2}{(1+x^2)^2} \right).
]
- Сложим и упростим:
[
y'' = \frac{1}{1+x^2} - \frac{x^2}{(1+x^2)^2}.
]
Теперь подставим ( x = -1 ):
[
y''(-1) = \frac{1}{1+(-1)^2} - \frac{(-1)^2}{(1+(-1)^2)^2} = \frac{1}{1+1} - \frac{1}{(1+1)^2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{2}{4} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}.
]
Таким образом, значение второй производной функции ( y ) в точке ( x_0 = -1 ) равно ( \frac{1}{4} ) с точностью до 0.01.
