Площадь фигуры, ограниченной линиями y = х2+4x, y = х+4, с точностью до 0,01 численно равна:

Для нахождения площади фигуры, ограниченной двумя кривыми \(y = x^2 + 4x\) и \(y = x + 4\), сначала нам нужно найти точки пересечения этих двух функций.

Приравняем их: \[ x^2 + 4x = x + 4 \] Переносим все в одну сторону: \[ x^2 + 4x - x - 4 = 0 \implies x^2 + 3x - 4 = 0 \] Решим квадратное уравнение: \[ D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 \] \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + 5}{2} = 1 \] \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - 5}{2} = -4 \]

Теперь определим, какая функция находится выше. Подставим точку, например, \(x = 0\): \[ y_1 = 0^2 + 4 \cdot 0 = 0 \] \[ y_2 = 0 + 4 = 4 \] Таким образом, \(y = x + 4\) выше \(y = x^2 + 4x\) на промежутке \([-4, 1]\).

Следовательно, площадь ограниченной фигуры можно найти с помощью интеграла: \[ S = \int_{-4}^{1} ((x + 4) - (x^2 + 4x))\, dx \] Упростим выражение под интегралом: \[ S = \int_{-4}^{1} (x + 4 - x^2 - 4x) \,dx = \int_{-4}^{1} (-x^2 - 3x + 4) \, dx \]

Теперь найдём этот интеграл: \[ S = \left[-\frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} + 4x\right]_{-4}^{1} \]

Теперь подставим границы: Для \(x = 1\): \[ -\frac{1^3}{3} - \frac{3 \cdot 1^2}{2} + 4 \cdot 1 = -\frac{1}{3} - \frac{3}{2} + 4 = -\frac{1}{3} - \frac{9}{6} + \frac{24}{6} = -\frac{1}{3} + \frac{15}{6} \] \[ = -\frac{1}{3} + \frac{5}{2} = -\frac{2}{6} + \frac{15}{6} = \frac{13}{6} \]

Для \(x = -4\): \[ -\frac{(-4)^3}{3} - \frac{3 \cdot (-4)^2}{2} + 4 \cdot (-4) = -\left(-\frac{64}{3}\right) - \frac{3 \cdot 16}{2} - 16 = \frac{64}{3} - 24 - 16 \] \[ = \frac{64}{3} - 40 = \frac{64 - 120}{3} = -\frac{56}{3} \]

Теперь найдём разницу: \[ S = \left(\frac{13}{6} - \left(-\frac{56}{3}\right)\right) = \frac{13}{6} + \frac{56}{3} = \frac{13}{6} + \frac{112}{6} = \frac{125}{6} \] Значит, площадь фигуры: \[ S \approx \frac{125}{6} \approx 20.83 \]

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной данными кривыми, с точностью до 0.01 равна \(20.83\).