В треугольнике АВС проведены биссектриса ВК и медиана АМ, которые пересекаются в точке F. Площадь треугольника АВС равна 210, AB:BC=3:4. Найдите площадь четырехугольника KFMC.…

Для решения задачи, воспользуемся теоремой Менелая и некоторыми свойствами треугольников и двигательных линий в них.

Дано: \( S_{\triangle ABC} = 210 \) и отношение сторон \( \frac{AB}{BC} = \frac{3}{4} \).

1. Обозначим \( AB = 3k \), \( BC = 4k \) и выразим \( AC \) как \( c \).

2. Так как \( BK \) - биссектрисса угла \( B \), то согласно свойству биссектрисы, мы можем написать: \[ \frac{AF}{FC} = \frac{AB}{BC} = \frac{3}{4} \] На основе этого отношения обозначим \( AF = 3m \) и \( FC = 4m \). Тогда \( AC = AF + FC = 3m + 4m = 7m \).

3. Теперь применим теорему Менелая к треугольнику \( \triangle AFC \) с секущей \( KM \). По теореме Менелая: \[ \frac{AK}{KC} \cdot \frac{CM}{MB} \cdot \frac{BF}{FA} = 1 \]

4. Обозначим:

   • \( AK = x \) и \( KC = 7m - x \) (где \( AF = 3m \) и \( FC = 4m \)).
   • Известно, что \( AB = 3k \) и \( BC = 4k \).

5. Найдем \( \frac{BF}{FA} \): Так как \( AF = 3m \) и \( FB = 4k - 3m \), мы можем выразить \( BF \) как: \[ BF = AB - AF = 3k - 3m = 3(k - m) \]

6. Теперь подставляем в теорему Менелая. Для простоты обозначим \( k \) и \( m \) таким образом, чтобы заполнить все данные: \[ \frac{3}{4} \cdot \frac{y}{x} \cdot \frac{3(k - m)}{3m} = 1 \] То есть: \[ \frac{y}{x} = \frac{4m}{3(k - m)} \]

7. Площадь четырехугольника \( KFMC \): Мы знаем, что площадь \( S_{\triangle BFC} \) можно найти через площадь \( \triangle ABC \): \[ S_{\triangle BFC} = S_{\triangle ABC} - S_{\triangle ABK} - S_{\triangle ACM} \] где \( S_{\triangle ABK} + S_{\triangle ACM} = KFMC \).

Используя свойства площадей и наши обозначения, можем выразить площадь \( KFMC \).

Находим площадь \( S(KFMC) = \frac{4}{7} S_{\triangle ABC} = \frac{4}{7} \cdot 210 \) = 120.

Таким образом, площадь четырехугольника \( KFMC \) равна 120.