Для решения задачи можно использовать биномиальное распределение. В данном случае количество испытаний ( n = 700 ), вероятность успеха в каждом испытании ( p = 0,35 ).
- Вероятность того, что событие A происходит точно 270 раз:
Вероятность ( P(X = k) ) для биномиального распределения вычисляется по формуле:
[
P(X = k) = C(n, k) p^k (1 - p)^{n - k}
]
где ( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} ) — биномиальный коэффициент.
Подставляем значения ( n = 700 ), ( k = 270 ), ( p = 0,35 ):
[
P(X = 270) = C(700, 270) (0,35)^{270} (0,65)^{430}
]
Рассчитать это значение вручную может быть затруднительно, поэтому на практике чаще всего используются статистические программы или калькуляторы для вычисления биномиальных вероятностей.
- Вероятность того, что событие A происходит меньше чем 270 раз:
Это можно выразить как сумму вероятностей для всех случаев от 0 до 269:
[
P(X < 270) = \sum_{k=0}^{269} P(X = k)
]
Или также с помощью функции распределения:
[
P(X < 270) = F(269)
]
где ( F(k) ) — это функция распределения биномиальной случайной величины.
- Вероятность того, что событие A происходит больше чем 230 раз, но меньше чем 270 раз:
Это можно выразить как:
[
P(230 < X < 270) = P(X < 270) - P(X \leq 230) = F(269) - F(230)
]
Как и в предыдущих случаях, для вычисления этих значений лучше использовать статистические программы или таблицы распределения биномиальных вероятностей.
Если статистические программы недоступны, можно использовать нормальное приближение биномиального распределения, так как ( n = 700 ) достаточно велико.
Для нормального приближения используйте:
- Среднее: ( \mu = n \cdot p = 700 \cdot 0,35 = 245 )
- Дисперсия: ( \sigma^2 = n \cdot p \cdot (1 - p) = 700 \cdot 0,35 \cdot 0,65 )
- Стандартное отклонение: ( \sigma = \sqrt{\sigma^2} )
Используя нормальное приближение, вы можете найти соответствующие Z-баллы и использовать стандартные таблицы нормального распределения для вычисления вероятностей.
Таким образом, заказывая численные методы или программное обеспечение для статистики, вы можете получить точные ответные вероятности для всех заданных случаев.
