В каждом из 700 независимых испытаний событие А происходит с постоян-ной вероятностью 0,35. Найти вероятность того, что событие А происходит: точно 270 раз; меньше чем 270 и…
В каждом из 700 независимых испытаний событие А происходит с постоян-ной вероятностью 0,35. Найти вероятность того, что событие А происходит: точно 270 раз; меньше чем 270 и больше чем 230 раз.
Для решения задачи можно использовать биномиальное распределение. В данном случае количество испытаний \( n = 700 \), вероятность успеха в каждом испытании \( p = 0,35 \).
- Вероятность того, что событие A происходит точно 270 раз:
Вероятность \( P(X = k) \) для биномиального распределения вычисляется по формуле:
\[ P(X = k) = C(n, k) p^k (1 - p)^{n - k} \]
где \( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \) — биномиальный коэффициент.
Подставляем значения \( n = 700 \), \( k = 270 \), \( p = 0,35 \):
\[ P(X = 270) = C(700, 270) (0,35)^{270} (0,65)^{430} \]
Рассчитать это значение вручную может быть затруднительно, поэтому на практике чаще всего используются статистические программы или калькуляторы для вычисления биномиальных вероятностей.
- Вероятность того, что событие A происходит меньше чем 270 раз:
Это можно выразить как сумму вероятностей для всех случаев от 0 до 269:
\[ P(X < 270) = \sum_{k=0}^{269} P(X = k) \]
Или также с помощью функции распределения:
\[ P(X < 270) = F(269) \]
где \( F(k) \) — это функция распределения биномиальной случайной величины.
- Вероятность того, что событие A происходит больше чем 230 раз, но меньше чем 270 раз:
Это можно выразить как:
\[ P(230 < X < 270) = P(X < 270) - P(X \leq 230) = F(269) - F(230) \]
Как и в предыдущих случаях, для вычисления этих значений лучше использовать статистические программы или таблицы распределения биномиальных вероятностей.
Если статистические программы недоступны, можно использовать нормальное приближение биномиального распределения, так как \( n = 700 \) достаточно велико.
Для нормального приближения используйте:
- Среднее: \( \mu = n \cdot p = 700 \cdot 0,35 = 245 \)
- Дисперсия: \( \sigma^2 = n \cdot p \cdot (1 - p) = 700 \cdot 0,35 \cdot 0,65 \)
- Стандартное отклонение: \( \sigma = \sqrt{\sigma^2} \)
Используя нормальное приближение, вы можете найти соответствующие Z-баллы и использовать стандартные таблицы нормального распределения для вычисления вероятностей.
Таким образом, заказывая численные методы или программное обеспечение для статистики, вы можете получить точные ответные вероятности для всех заданных случаев.
