Вариант 2. 1. Найти вероятность того, что событие А появится не менее трех раз в пяти испытаниях, если вероятность появления события А в одном испытании равна 0,4. 2. Вероятность…

Давайте разберемся с каждым из заданий по порядку.

Задание 1:

Найти вероятность того, что событие А появится не менее трех раз в пяти испытаниях, если вероятность появления события А в одном испытании равна 0,4.

Для решения используем биномиальное распределение:

• Обозначим \( n = 5 \) (количество испытаний), \( p = 0,4 \) (вероятность успеха), \( k \) - количество успешных испытаний.
• Нам нужно найти \( P(X \geq 3) \).

Формула биномиального распределения: \[ P(X = k) = C(n, k) p^k (1-p)^{n-k} \] где \( C(n, k) \) - биномиальный коэффициент.

Нужно найти: \[ P(X \geq 3) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) \]

Подсчитаем:

1. \( P(X = 3) \): \[ P(X = 3) = C(5, 3) (0.4)^3 (0.6)^2 = 10 \cdot 0.064 \cdot 0.36 \approx 0.2304 \]
2. \( P(X = 4) \): \[ P(X = 4) = C(5, 4) (0.4)^4 (0.6)^1 = 5 \cdot 0.01024 \cdot 0.6 \approx 0.03072 \]
3. \( P(X = 5) \): \[ P(X = 5) = C(5, 5) (0.4)^5 (0.6)^0 = 1 \cdot 0.01024 \cdot 1 = 0.01024 \]

Сложим: \[ P(X \geq 3) \approx 0.2304 + 0.03072 + 0.01024 \approx 0.27136 \]

Задание 2:

Вероятность всхожести семян пшеницы равна 0,9. Какова вероятность того, что из четырех посеянных семян взойдут не менее трех?

Здесь используем тоже биномиальное распределение:

• \( n = 4 \), \( p = 0,9 \), \( k \) - количество успешных испытаний.

Нужны: \[ P(X \geq 3) = P(X = 3) + P(X = 4) \]

1. \( P(X = 3) \): \[ P(X = 3) = C(4, 3) (0.9)^3 (0.1)^1 = 4 \cdot 0.729 \cdot 0.1 = 0.2916 \]
2. \( P(X = 4) \): \[ P(X = 4) = C(4, 4) (0.9)^4 (0.1)^0 = 1 \cdot 0.6561 \cdot 1 = 0.6561 \]

Сложим: \[ P(X \geq 3) \approx 0.2916 + 0.6561 \approx 0.9477 \]

Задание 3:

В каждом из 700 независимых испытаний событие А происходит с постоянной вероятностью 0,35. Найти вероятность того, что событие А происходит:

• точно 270 раз;
• меньше чем 270 и больше чем 230 раз.

Здесь можно применить нормальное приближение биномиального распределения, так как \( n \) велико:

• \( n = 700 \), \( p = 0.35 \).

Сначала найдем математическое ожидание и стандартное отклонение: \[ \mu = np = 700 \cdot 0.35 = 245 \] \[ \sigma = \sqrt{np(1-p)} = \sqrt{700 \cdot 0.35 \cdot 0.65} \approx 12.126 \]

Используем нормальное распределение для приближений.

Для \( P(X = 270) \): \[ z = \frac{270 - 245}{12.126} \approx 2.06 \] Из таблицы нормального распределения находим: \[ P(Z < 2.06) = 0.9803 \]

Чтобы найти \( P(X = 270) \): \[ P(X = 270) \approx P(269.5 < X < 270.5) \]

Найдем z для 269.5 и 270.5: \[ z_1 = \frac{269.5 - 245}{12.126} \approx 2.02 \] \[ z_2 = \frac{270.5 - 245}{12.126} \approx 2.10 \] Тогда: \[ P(269.5 < X < 270.5) \approx P(Z < 2.10) - P(Z < 2.02) \approx 0.9821 - 0.9798 = 0.0023 \]

Теперь для \( P(230 < X < 270) \): \[ P(Z < \frac{270 - 245}{\sigma}) - P(Z < \frac{230 - 245}{\sigma}) \]

Расчет:

• Для 270: \[ P(Z < 2.06) \approx 0.9803 \]
• Для 230: \[ z = \frac{230 - 245}{12.126} \approx -1.24 \Rightarrow P(Z < -1.24) \approx 0.1075 \]

Итак, \[ P(230 < X < 270) = 0.9803 - 0.1075 = 0.8728 \]

Задание 4:

Найти вероятность того, что событие А появится в пяти независимых испытаниях не менее трех раз, если в каждом испытании вероятность появления события А равна 0,4.

Это уже было разобрано в задании 1: \[ P(X \geq 3) \approx 0.27136 \]

Задание 5:

Найти вероятность того, что при 300 испытаниях событие наступит ровно 100 раз, если вероятность его появления в каждом испытании равна 0,6.

Опять используем нормальное приближение:

• \( n = 300 \), \( p = 0.6 \).

Находим \( \mu \) и \( \sigma \): \[ \mu = np = 300 \cdot 0.6 = 180 \] \[ \sigma = \sqrt{np(1-p)} = \sqrt{300 \cdot 0.6 \cdot 0.4} \approx 8.16 \]

Для \( P(X = 100) \): \[ P(X = 100) \approx P(99.5 < X < 100.5) \]

Находим z: \[ z_1 = \frac{99.5 - 180}{8.16} \approx -9.85 \] \[ z_2 = \frac{100.5 - 180}{8.16} \approx -9.75 \]

Так как z-значения очень далеки от 0, то: \[ P(X = 100) \approx 0 \]

Таким образом, вероятность событий в каждом из вопросов:

1. \( P(X \geq 3) \approx 0.27136 \)
2. \( P(X \geq 3) \approx 0.9477 \)
3. \( P(X = 270) \approx 0.0023; P(230 < X < 270) \approx 0.8728 \)
4. \( P(X \geq 3) \approx 0.27136 \) (аналогично 1)
5. \( P(X = 100) \approx 0 \)

Если нужны дополнительные разъяснения или примеры, дайте знать!