Давайте разберемся с каждым из заданий по порядку.
Задание 1:
Найти вероятность того, что событие А появится не менее трех раз в пяти испытаниях, если вероятность появления события А в одном испытании равна 0,4.
Для решения используем биномиальное распределение:
- Обозначим ( n = 5 ) (количество испытаний), ( p = 0,4 ) (вероятность успеха), ( k ) - количество успешных испытаний.
- Нам нужно найти ( P(X \geq 3) ).
Формула биномиального распределения:
[
P(X = k) = C(n, k) p^k (1-p)^{n-k}
]
где ( C(n, k) ) - биномиальный коэффициент.
Нужно найти:
[
P(X \geq 3) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5)
]
Подсчитаем:
- ( P(X = 3) ):
[
P(X = 3) = C(5, 3) (0.4)^3 (0.6)^2 = 10 \cdot 0.064 \cdot 0.36 \approx 0.2304
]
- ( P(X = 4) ):
[
P(X = 4) = C(5, 4) (0.4)^4 (0.6)^1 = 5 \cdot 0.01024 \cdot 0.6 \approx 0.03072
]
- ( P(X = 5) ):
[
P(X = 5) = C(5, 5) (0.4)^5 (0.6)^0 = 1 \cdot 0.01024 \cdot 1 = 0.01024
]
Сложим:
[
P(X \geq 3) \approx 0.2304 + 0.03072 + 0.01024 \approx 0.27136
]
Задание 2:
Вероятность всхожести семян пшеницы равна 0,9. Какова вероятность того, что из четырех посеянных семян взойдут не менее трех?
Здесь используем тоже биномиальное распределение:
- ( n = 4 ), ( p = 0,9 ), ( k ) - количество успешных испытаний.
Нужны:
[
P(X \geq 3) = P(X = 3) + P(X = 4)
]
- ( P(X = 3) ):
[
P(X = 3) = C(4, 3) (0.9)^3 (0.1)^1 = 4 \cdot 0.729 \cdot 0.1 = 0.2916
]
- ( P(X = 4) ):
[
P(X = 4) = C(4, 4) (0.9)^4 (0.1)^0 = 1 \cdot 0.6561 \cdot 1 = 0.6561
]
Сложим:
[
P(X \geq 3) \approx 0.2916 + 0.6561 \approx 0.9477
]
Задание 3:
В каждом из 700 независимых испытаний событие А происходит с постоянной вероятностью 0,35. Найти вероятность того, что событие А происходит:
- точно 270 раз;
- меньше чем 270 и больше чем 230 раз.
Здесь можно применить нормальное приближение биномиального распределения, так как ( n ) велико:
- ( n = 700 ), ( p = 0.35 ).
Сначала найдем математическое ожидание и стандартное отклонение:
[
\mu = np = 700 \cdot 0.35 = 245
]
[
\sigma = \sqrt{np(1-p)} = \sqrt{700 \cdot 0.35 \cdot 0.65} \approx 12.126
]
Используем нормальное распределение для приближений.
Для ( P(X = 270) ):
[
z = \frac{270 - 245}{12.126} \approx 2.06
]
Из таблицы нормального распределения находим:
[
P(Z < 2.06) = 0.9803
]
Чтобы найти ( P(X = 270) ):
[
P(X = 270) \approx P(269.5 < X < 270.5)
]
Найдем z для 269.5 и 270.5:
[
z_1 = \frac{269.5 - 245}{12.126} \approx 2.02
]
[
z_2 = \frac{270.5 - 245}{12.126} \approx 2.10
]
Тогда:
[
P(269.5 < X < 270.5) \approx P(Z < 2.10) - P(Z < 2.02) \approx 0.9821 - 0.9798 = 0.0023
]
Теперь для ( P(230 < X < 270) ):
[
P(Z < \frac{270 - 245}{\sigma}) - P(Z < \frac{230 - 245}{\sigma})
]
Расчет:
- Для 270:
[
P(Z < 2.06) \approx 0.9803
]
- Для 230:
[
z = \frac{230 - 245}{12.126} \approx -1.24 \Rightarrow P(Z < -1.24) \approx 0.1075
]
Итак,
[
P(230 < X < 270) = 0.9803 - 0.1075 = 0.8728
]
Задание 4:
Найти вероятность того, что событие А появится в пяти независимых испытаниях не менее трех раз, если в каждом испытании вероятность появления события А равна 0,4.
Это уже было разобрано в задании 1:
[
P(X \geq 3) \approx 0.27136
]
Задание 5:
Найти вероятность того, что при 300 испытаниях событие наступит ровно 100 раз, если вероятность его появления в каждом испытании равна 0,6.
Опять используем нормальное приближение:
- ( n = 300 ), ( p = 0.6 ).
Находим ( \mu ) и ( \sigma ):
[
\mu = np = 300 \cdot 0.6 = 180
]
[
\sigma = \sqrt{np(1-p)} = \sqrt{300 \cdot 0.6 \cdot 0.4} \approx 8.16
]
Для ( P(X = 100) ):
[
P(X = 100) \approx P(99.5 < X < 100.5)
]
Находим z:
[
z_1 = \frac{99.5 - 180}{8.16} \approx -9.85
]
[
z_2 = \frac{100.5 - 180}{8.16} \approx -9.75
]
Так как z-значения очень далеки от 0, то:
[
P(X = 100) \approx 0
]
Таким образом, вероятность событий в каждом из вопросов:
- ( P(X \geq 3) \approx 0.27136 )
- ( P(X \geq 3) \approx 0.9477 )
- ( P(X = 270) \approx 0.0023; P(230 < X < 270) \approx 0.8728 )
- ( P(X \geq 3) \approx 0.27136 ) (аналогично 1)
- ( P(X = 100) \approx 0 )
Если нужны дополнительные разъяснения или примеры, дайте знать!
