в каждой из восьми урн имеется 10 белых и 5 черных шаров. из каждой урны извлекли по одному шару. что вероятнее: появление двух черных и шести белых или трёх черных и пяти белых?
Для решения этой задачи мы можем использовать комбинаторный подход, чтобы найти вероятности каждого из указанных исходов.
В каждой из восьми урн содержится 10 белых и 5 черных шаров, всего 15 шаров. Извлекать будем по одному шару из каждой урны.
Вероятность появления 2 черных и 6 белых шаров:
- Обозначим количество черных шаров за \( k = 2 \), и тогда белых будет \( 8 - k = 6 \).
- Вероятность выбрать черный шар из урны \( P(\text{черный}) = \frac{5}{15} = \frac{1}{3} \).
- Вероятность выбрать белый шар \( P(\text{белый}) = \frac{10}{15} = \frac{2}{3} \).
Сначала найдем количество способов выбрать 2 черных шара из 8 урн и 6 белых: \[ C(8, 2) = \frac{8!}{2!(8-2)!} = 28 \]
Вероятность этого исхода: \[ P(2 \text{ черных}, 6 \text{ белых}) = C(8, 2) \left( \frac{1}{3} \right)^2 \left( \frac{2}{3} \right)^6 = 28 \cdot \frac{1}{9} \cdot \frac{64}{729} \approx 28 \cdot \frac{64}{6561} = \frac{1792}{6561} \]
Вероятность появления 3 черных и 5 белых шаров:
- Обозначим количество черных шаров за \( k = 3 \), и тогда белых будет \( 8 - k = 5 \).
Количество способов выбрать 3 черных шара из 8 урн: \[ C(8, 3) = \frac{8!}{3!(8-3)!} = 56 \]
Вероятность этого исхода: \[ P(3 \text{ черных}, 5 \text{ белых}) = C(8, 3) \left( \frac{1}{3} \right)^3 \left( \frac{2}{3} \right)^5 = 56 \cdot \frac{1}{27} \cdot \frac{32}{243} \approx 56 \cdot \frac{32}{6561} = \frac{1792}{6561} \]
Теперь сравниваем \( P(2 \text{ черных}, 6 \text{ белых}) \) и \( P(3 \text{ черных}, 5 \text{ белых}) \):
Обе вероятности равны:
\[ P(2 \text{ черных}, 6 \text{ белых}) = P(3 \text{ черных}, 5 \text{ белых}) = \frac{1792}{6561} \]
Таким образом, оба события имеют одинаковую вероятность.
