Для решения этой задачи мы можем использовать распределение Бернулли, так как у нас есть независимые испытания с фиксированной вероятностью успеха.
Обозначим:
- ( p = 0.4 ) — вероятность успеха (появление события A),
- ( n = 5 ) — количество испытаний,
- ( k ) — количество успехов.
Нам нужно найти вероятность того, что событие A появится не менее трех раз, то есть для ( k \geq 3 ).
Сначала вычислим вероятность для каждого из случаев от 3 до 5 включительно, а затем сложим их:
[
P(X \geq 3) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5)
]
Вероятность того, что событие A произойдет ровно ( k ) раз, вычисляется по формуле:
[
P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k}
]
где ( C(n, k) ) — биномиальный коэффициент, который вычисляется как ( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n - k)!} ).
Теперь вычислим каждую из вероятностей:
- Для ( k = 3 ):
[
P(X = 3) = C(5, 3) \cdot (0.4)^3 \cdot (0.6)^2 = 10 \cdot (0.4)^3 \cdot (0.6)^2
]
[
= 10 \cdot 0.064 \cdot 0.36 = 10 \cdot 0.02304 = 0.2304
]
- Для ( k = 4 ):
[
P(X = 4) = C(5, 4) \cdot (0.4)^4 \cdot (0.6)^1 = 5 \cdot (0.4)^4 \cdot (0.6)^1
]
[
= 5 \cdot 0.0256 \cdot 0.6 = 5 \cdot 0.01536 = 0.0768
]
- Для ( k = 5 ):
[
P(X = 5) = C(5, 5) \cdot (0.4)^5 \cdot (0.6)^0 = 1 \cdot (0.4)^5 = 0.01024
]
Теперь сложим все вероятности:
[
P(X \geq 3) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5)
]
[
= 0.2304 + 0.0768 + 0.01024 = 0.31744
]
Таким образом, вероятность того, что событие A появится в пяти независимых испытаниях не менее трех раз, составляет:
[
\boxed{0.31744}
]
