Для решения этой задачи давайте сначала определим вероятности событий.
- Обозначим: Пусть ( B ) – черный шар, ( W ) – белый шар.
- Объем шары: В каждой урне 10 белых и 5 черных шаров, всего 15 шаров.
Сначала найдем вероятность извлечения двух черных и шести белых.
Вероятность извлечения двух черных и шести белых:
Извлечение шаров происходит из 8 уровней, то есть мы будем рассматривать 8 независимых событий, каждое из которых имеет следующий результат:
- Вероятность извлечения черного шара ( P(B) = \frac{5}{15} = \frac{1}{3} ).
- Вероятность извлечения белого шара ( P(W) = \frac{10}{15} = \frac{2}{3} ).
Мы хотим найти вероятность того, что из 8 шаров мы извлечем 2 черных и 6 белых. Это можно сделать с помощью биномиального распределения. В данном случае:
[
P(X = 2) = C(8, 2) \cdot (P(B))^2 \cdot (P(W))^6,
]
где ( C(8, 2) ) – это количество сочетаний из 8 по 2. Рассчитаем:
[
C(8, 2) = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28.
]
Теперь подставим вероятности:
[
P(X = 2) = 28 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^2 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^6.
]
Вычислим:
[
P(X = 2) = 28 \cdot \frac{1}{9} \cdot \frac{64}{729} = \frac{28 \cdot 64}{6561} = \frac{1792}{6561}.
]
Вероятность извлечения трех черных и пяти белых:
Теперь найдем вероятность того, что из 8 шаров мы извлечем 3 черных и 5 белых:
[
P(X = 3) = C(8, 3) \cdot (P(B))^3 \cdot (P(W))^5.
]
Сначала найдём число сочетаний:
[
C(8, 3) = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56.
]
Теперь подставим вероятности:
[
P(X = 3) = 56 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^3 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^5.
]
Вычислим:
[
P(X = 3) = 56 \cdot \frac{1}{27} \cdot \frac{32}{243} = \frac{56 \cdot 32}{6561} = \frac{1792}{6561}.
]
Сравнение вероятностей
Теперь у нас:
- Вероятность извлечения 2 черных и 6 белых: ( \frac{1792}{6561} ).
- Вероятность извлечения 3 черных и 5 белых: ( \frac{1792}{6561} ).
Обе вероятности равны.
Таким образом, вероятность появления двух черных и шести белых шаров одинакова с вероятностью появления трех черных и пяти белых шаров.
