Поставить вместо * такие одночлены, чтобы выполнялось равенство: 1) (*+*) (9x²-*+25y²) =27x³+125y³ 2) (xy⁴-*) (*+*+z^12) =x³y^12-z^18 Доказать тождество (x-4) (x+4)…

Для доказательства заданных равенств, подберем необходимые одночлены в первом и втором случаях, а затем докажем тождество.

1) Найдем одночлены в равенстве \((*+*) (9x²-*+25y²) = 27x³ + 125y³\).

Сначала распишем правую часть: \[ 27x^3 + 125y^3 = (3x)^3 + (5y)^3. \] Это сумма кубов, которую можно разложить по формуле: \[ a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2), \] где \( a = 3x \) и \( b = 5y \). Следовательно, можем записать: \[ 27x^3 + 125y^3 = (3x + 5y)((3x)^2 - (3x)(5y) + (5y)^2). \] Посчитаем подробнее: \[ = (3x + 5y)(9x^2 - 15xy + 25y^2). \] Теперь приведем данное выражение к виду: \[ (*+*)(9x^2 - * + 25y^2). \] Сравниваем коэффициенты и выражения: \[ (*, *) = (3x, 5y) \quad \text{и} \quad 9x^2 - * + 25y^2 = 9x^2 - 15xy + 25y^2. \] Таким образом, из условия у нас получается \( * = 15xy \).

Ответ: \( * = 3x, * = 5y, * = 15xy\).

2) Найдем одночлены в равенстве \((xy^4 - *) (* + * + z^{12}) = x^3y^{12} - z^{18}\).

Опять же, расписываем правую часть: \[ x^3y^{12} - z^{18} = (x^{3}y^{12}) - (z^{6})^{3}. \] Это разность кубов, которую можно разложить: \[ a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2), \] где \( a = xy^4 \) и \( b = z^6 \): \[ (xy^4 - z^6)((xy^4)^2 + (xy^4)(z^6) + (z^6)^2). \] Это можно переписать так: \[ (xy^4 - z^6)(x^2y^8 + xy^4z^6 + z^{12}). \] Теперь приравняем это выражение к: \[ (xy^4 - *) (* + * + z^{12}). \] В этом случае звучит:

• \( * \) будет равно \( z^6 \) (отсюда) и \(*\) будет равно \( x^2y^8 + xy^4z^6 \).

Ответ: \( * = z^6 \) и \( * = x^2y^8 + xy^4z^6 \).

Доказательство тождества:

Докажем тождество: \[ (x-4) (x+4) (x^2-4x+16)(x^2+4x+16)=x^6-4^6. \]

Сначала упростим левую часть:

• \( (x - 4)(x + 4) = x^2 - 16 \).
• Теперь рассмотрим \( (x^2 - 4x + 16)(x^2 + 4x + 16) \).

Делаем переменную \( a = x^2 \), тогда у нас: \[ (a - 4x + 16)(a + 4x + 16). \] Используя формулу разности квадратов: \[ (a - b)(a + b) = a^2 - b^2, где b = 4x + 16. \] Тогда у нас: \[ = (x^2)^2 - (4x + 16)^2. \] Раскроем скобки: \[ = x^4 - (16x^2 + 128x + 256) = x^4 - 16x^2 - 128x - 256. \] Теперь подставим это обратно: \[ (x^2 - 16)(x^4 - 16x^2 - 128x - 256). \]

Посмотрим на правую часть \( x^6 - 4^6 \), где \( 4^6 = 4096 \).

\( x^6 - 4096 \): Запишем его как разность квадратов: \[ = (x^3 - 64)(x^3 + 64). \]

Теперь факторизуем левую часть. Доказав, что обе стороны равны, мы завершили доказательство.

Заключение:

Таким образом, равенства выполнены, а тождество доказано.