Чтобы решить уравнение (\frac{12}{x-1} - \frac{8}{x+1} = 1), нам нужно привести дроби к общему знаменателю и упростить выражение:
- Общий знаменатель для ((x-1)) и ((x+1)) — это ((x-1)(x+1)).
- Приведем дроби к общему знаменателю:
[
\frac{12(x+1)}{(x-1)(x+1)} - \frac{8(x-1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)(x+1)}
]
- Запишем уравнение:
[
\frac{12(x+1) - 8(x-1)}{(x-1)(x+1)} = 1
]
- Упрощаем числитель:
[
12(x+1) - 8(x-1) = 12x + 12 - 8x + 8 = 4x + 20
]
- Теперь уравнение:
[
\frac{4x + 20}{(x-1)(x+1)} = 1
]
- Умножим обе стороны на ((x-1)(x+1)):
[
4x + 20 = (x-1)(x+1)
]
- Раскроем скобки:
[
x^2 - 1 = 4x + 20
]
- Переносим все в одну сторону:
[
x^2 - 4x - 21 = 0
]
- Решим квадратное уравнение:
Это можно сделать через дискриминант:
(D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 16 + 84 = 100)
Корни:
[
x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}
]
[
x_{1,2} = \frac{4 \pm 10}{2}
]
[
x_1 = \frac{14}{2} = 7, \quad x_2 = \frac{-6}{2} = -3
]
Ответ: (x = 7) или (x = -3).
