Вероятность изготовления нестандартной детали равна 0.11. Пользуясь формулой Бернулли найти вероятность того, что из пяти наудачу взятых деталей будут четыре стандартных.
Для решения задачи используем формулу Бернулли, которая описывает вероятность получения ровно \(k\) успехов (в нашем случае стандартных деталей) в \(n\) независимых опытов (в нашем случае — 5 деталей), где \(p\) — вероятность успеха, а \(q = 1 - p\) — вероятность неуспеха.
В нашей задаче:
- Вероятность изготовления стандартной детали (успеха) \(p = 1 - 0.11 = 0.89\).
- Вероятность изготовления нестандартной детали (неуспеха) \(q = 0.11\).
- Общее количество испытаний \(n = 5\).
- Желательное количество успехов \(k = 4\).
Формула Бернулли выглядит так:
\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{(n-k)} \]
где
- \(C(n, k)\) — это биномиальный коэффициент, который вычисляется как \(\frac{n!}{k!(n-k)!}\).
Теперь подставим значения:
Посчитаем биномиальный коэффициент: \[ C(5, 4) = \frac{5!}{4! \cdot (5-4)!} = \frac{5!}{4! \cdot 1!} = \frac{5 \cdot 4!}{4! \cdot 1} = 5 \]
Подставим в формулу: \[ P(X = 4) = C(5, 4) \cdot p^4 \cdot q^{(5-4)} = 5 \cdot (0.89)^4 \cdot (0.11)^1 \]
Теперь вычислим:
- \( (0.89)^4 \approx 0.627422 \)
- \( (0.11)^1 = 0.11 \)
Итак, \[ P(X = 4) = 5 \cdot 0.627422 \cdot 0.11 \approx 5 \cdot 0.06901642 \approx 0.3450821 \]
Таким образом, вероятность того, что из пяти наудачу взятых деталей будут четыре стандартных, составляет примерно \(0.345\) или \(34.5\%\).
