Длины рёбер прямоугольного параллелепипеда
A
B
C
D
A
1
B
1
C
1
D
1
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
A
D
=
10
,
C
D
=
6
,
C
C
1
=
8.
AD=10,CD=6,CC
1
=8. Найди площадь сечения параллелепипеда, проходящего через точки
A
,
D
,
B
1
A,D,B
1
.
Чтобы найти площадь сечения прямоугольного параллелепипеда, проходящего через точки \( A \), \( D \) и \( B_1 \), начнем с определения координат этих точек.
Пусть:
- \( A(0, 0, 0) \)
- \( D(10, 0, 0) \) (так как \( AD = 10 \))
- \( C(10, 6, 0) \) (так как \( CD = 6 \))
- \( C_1(10, 6, 8) \) (так как \( CC_1 = 8 \))
- \( B(0, 6, 0) \)
- \( B_1(0, 6, 8) \)
Теперь у нас есть координаты нужных точек:
1. \( A(0, 0, 0) \)
2. \( D(10, 0, 0) \)
3. \( B_1(0, 6, 8) \)
Теперь найдем векторы, определяющие плоскость сечения:
- Вектор \( \overrightarrow{AD} = D - A = (10, 0, 0) - (0, 0, 0) = (10, 0, 0) \)
- Вектор \( \overrightarrow{AB_1} = B_1 - A = (0, 6, 8) - (0, 0, 0) = (0, 6, 8) \)
Сначала найдем площадь треугольника, определяемого этими векторами:
Площадь треугольника можно найти по формуле:
\[
S = \frac{1}{2} ||\overrightarrow{AD} \times \overrightarrow{AB_1}||
\]
Где \( \times \) обозначает произведение векторов, а \( ||\cdot|| \) - модуль вектора.
Найдем векторное произведение \( \overrightarrow{AD} \) и \( \overrightarrow{AB_1} \):
\[
\overrightarrow{AD} \times \overrightarrow{AB_1} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
10 & 0 & 0 \\
0 & 6 & 8
\end{vmatrix}
= \mathbf{i} \begin{vmatrix}
0 & 0 \\
6 & 8
\end{vmatrix}
- \mathbf{j} \begin{vmatrix}
10 & 0 \\
0 & 8
\end{vmatrix}
+ \mathbf{k} \begin{vmatrix}
10 & 0 \\
0 & 6
\end{vmatrix}
\]
Теперь вычислим определители:
1. \( \begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 6 & 8 \end{vmatrix} = 0 \)
2. \( \begin{vmatrix} 10 & 0 \\ 0 & 8 \end{vmatrix} = 80 \)
3. \( \begin{vmatrix} 10 & 0 \\ 0 & 6 \end{vmatrix} = 60 \)
Таким образом,
\[
\overrightarrow{AD} \times \overrightarrow{AB_1} = 0 \cdot \mathbf{i} - 80 \cdot \mathbf{j} + 60 \cdot \mathbf{k} = (0, -80, 60)
\]
Теперь найдем модуль этого вектора:
\[
||\overrightarrow{AD} \times \overrightarrow{AB_1}|| = \sqrt{0^2 + (-80)^2 + 60^2} = \sqrt{0 + 6400 + 3600} = \sqrt{10000} = 100
\]
Теперь можем найти площадь треугольника:
\[
S = \frac{1}{2} ||\overrightarrow{AD} \times \overrightarrow{AB_1}|| = \frac{1}{2} \times 100 = 50
\]
Таким образом, площадь сечения параллелепипеда, проходящего через точки \( A \), \( D \) и \( B_1 \), равна **50** квадратных единиц.
