Длины рёбер прямоугольного параллелепипеда A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 ABCDA 1 ​ B 1 ​ C 1 ​ D 1 ​ A D = 10 , C D = 6 , C C 1 = 8. AD=10,CD=6,CC 1 ​ =8. Найди площадь сечения…

Чтобы найти площадь сечения прямоугольного параллелепипеда, проходящего через точки \( A \), \( D \) и \( B_1 \), начнем с определения координат этих точек.

Пусть:

• \( A(0, 0, 0) \)
• \( D(10, 0, 0) \) (так как \( AD = 10 \))
• \( C(10, 6, 0) \) (так как \( CD = 6 \))
• \( C_1(10, 6, 8) \) (так как \( CC_1 = 8 \))
• \( B(0, 6, 0) \)
• \( B_1(0, 6, 8) \)

Теперь у нас есть координаты нужных точек:

1. \( A(0, 0, 0) \)
2. \( D(10, 0, 0) \)
3. \( B_1(0, 6, 8) \)

Теперь найдем векторы, определяющие плоскость сечения:

• Вектор \( \overrightarrow{AD} = D - A = (10, 0, 0) - (0, 0, 0) = (10, 0, 0) \)
• Вектор \( \overrightarrow{AB_1} = B_1 - A = (0, 6, 8) - (0, 0, 0) = (0, 6, 8) \)

Сначала найдем площадь треугольника, определяемого этими векторами: Площадь треугольника можно найти по формуле: \[ S = \frac{1}{2} ||\overrightarrow{AD} \times \overrightarrow{AB_1}|| \] Где \( \times \) обозначает произведение векторов, а \( ||\cdot|| \) - модуль вектора.

Найдем векторное произведение \( \overrightarrow{AD} \) и \( \overrightarrow{AB_1} \): \[ \overrightarrow{AD} \times \overrightarrow{AB_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 10 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 8 \end{vmatrix} = \mathbf{i} \begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 6 & 8 \end{vmatrix} - \mathbf{j} \begin{vmatrix} 10 & 0 \\ 0 & 8 \end{vmatrix} + \mathbf{k} \begin{vmatrix} 10 & 0 \\ 0 & 6 \end{vmatrix} \]

Теперь вычислим определители:

1. \( \begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 6 & 8 \end{vmatrix} = 0 \)
2. \( \begin{vmatrix} 10 & 0 \\ 0 & 8 \end{vmatrix} = 80 \)
3. \( \begin{vmatrix} 10 & 0 \\ 0 & 6 \end{vmatrix} = 60 \)

Таким образом, \[ \overrightarrow{AD} \times \overrightarrow{AB_1} = 0 \cdot \mathbf{i} - 80 \cdot \mathbf{j} + 60 \cdot \mathbf{k} = (0, -80, 60) \]

Теперь найдем модуль этого вектора: \[ ||\overrightarrow{AD} \times \overrightarrow{AB_1}|| = \sqrt{0^2 + (-80)^2 + 60^2} = \sqrt{0 + 6400 + 3600} = \sqrt{10000} = 100 \]

Теперь можем найти площадь треугольника: \[ S = \frac{1}{2} ||\overrightarrow{AD} \times \overrightarrow{AB_1}|| = \frac{1}{2} \times 100 = 50 \]

Таким образом, площадь сечения параллелепипеда, проходящего через точки \( A \), \( D \) и \( B_1 \), равна 50 квадратных единиц.