Чтобы представить число ( 36 ) в виде произведения двух положительных чисел ( x ) и ( y ) так, чтобы сумма кубов ( x^3 + y^3 ) была минимальна, можно воспользоваться тем, что ( y = \frac{36}{x} ). Следовательно, задача сводится к минимизации функции:
[
f(x) = x^3 + \left(\frac{36}{x}\right)^3
]
Теперь перепишем:
[
f(x) = x^3 + \frac{36^3}{x^3}
]
Для нахождения минимума найдем производную и приравняем её к нулю. Сначала найдем производную:
[
f'(x) = 3x^2 - \frac{3 \cdot 36^3}{x^4}
]
Приравняем производную к нулю:
[
3x^2 - \frac{3 \cdot 36^3}{x^4} = 0
]
Упрощая, получаем:
[
x^6 = 36^3
]
Теперь найдём ( x ):
[
x = 36^{1/2} = 6
]
Если ( x = 6 ), то ( y = \frac{36}{6} = 6 ).
Таким образом, мы получаем ( x = 6 ) и ( y = 6 ). Теперь можно найти сумму:
[
x + y = 6 + 6 = 12
]
Проверим, что сумма кубов действительно минимальна:
[
f(6) = 6^3 + 6^3 = 2 \cdot 216 = 432
]
Таким образом, сумма двух положительных чисел, произведение которых равно ( 36 ), при минимуме суммы их кубов равна ( 12 ).
Ответ:
[
\boxed{12}
]
