Чтобы найти ( x ), нам нужно использовать условие перпендикулярности векторов. Два вектора перпендикулярны, если скалярное произведение этих векторов равно нулю.
Векторы ( \mathbf{AB} ) и ( \mathbf{AC} ) найдём так:
- Вектор ( \mathbf{AB} = \mathbf{B} - \mathbf{A} = (1 - x; 1 - 3) = (1 - x; -2) ).
- Вектор ( \mathbf{AC} = \mathbf{C} - \mathbf{A} = (-2 - x; 4 - 3) = (-2 - x; 1) ).
Теперь скалярное произведение векторов ( \mathbf{AB} ) и ( \mathbf{AC} ):
[
\mathbf{AB} \cdot \mathbf{AC} = (1 - x)(-2 - x) + (-2)(1)
]
Теперь упростим это выражение:
[
\mathbf{AB} \cdot \mathbf{AC} = (1 - x)(-2 - x) - 2
]
[
= -2 - x + 2x + x^2 - 2
]
[
= x^2 + x - 4
]
Для того чтобы векторы были перпендикулярны, это выражение должно быть равно нулю:
[
x^2 + x - 4 = 0
]
Теперь решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
Дискриминант ( D ):
[
D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 1 + 16 = 17
]
Теперь находим корни уравнения:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{2}
]
Таким образом, возможные значения ( x ):
[
x_1 = \frac{-1 + \sqrt{17}}{2}, \quad x_2 = \frac{-1 - \sqrt{17}}{2}
]
Эти два значения соответствуют условию, что вектор ( \mathbf{AB} ) перпендикулярен ( \mathbf{AC} ).
