(x;3) B(1;1) C(-2;4) найти x,если вектор АВ перпендикулярен АС
Чтобы найти \( x \), нам нужно использовать условие перпендикулярности векторов. Два вектора перпендикулярны, если скалярное произведение этих векторов равно нулю.
Векторы \( \mathbf{AB} \) и \( \mathbf{AC} \) найдём так:
- Вектор \( \mathbf{AB} = \mathbf{B} - \mathbf{A} = (1 - x; 1 - 3) = (1 - x; -2) \).
- Вектор \( \mathbf{AC} = \mathbf{C} - \mathbf{A} = (-2 - x; 4 - 3) = (-2 - x; 1) \).
Теперь скалярное произведение векторов \( \mathbf{AB} \) и \( \mathbf{AC} \):
\[ \mathbf{AB} \cdot \mathbf{AC} = (1 - x)(-2 - x) + (-2)(1) \]
Теперь упростим это выражение:
\[ \mathbf{AB} \cdot \mathbf{AC} = (1 - x)(-2 - x) - 2 \] \[ = -2 - x + 2x + x^2 - 2 \] \[ = x^2 + x - 4 \]
Для того чтобы векторы были перпендикулярны, это выражение должно быть равно нулю:
\[ x^2 + x - 4 = 0 \]
Теперь решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
Дискриминант \( D \):
\[ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 1 + 16 = 17 \]
Теперь находим корни уравнения:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{2} \]
Таким образом, возможные значения \( x \):
\[ x_1 = \frac{-1 + \sqrt{17}}{2}, \quad x_2 = \frac{-1 - \sqrt{17}}{2} \]
Эти два значения соответствуют условию, что вектор \( \mathbf{AB} \) перпендикулярен \( \mathbf{AC} \).
