Решить уравнение

Давайте решим уравнения: ### Уравнение 1: \[ \frac{x+4}{x+1} - \frac{10}{x^2-1} = 8 \] \(x^2 - 1\) можно разложить как \((x-1)(x+1)\). Приведем дроби к общему знаменателю \((x-1)(x+1)\): \[ \frac{(x+4)(x-1) - 10}{(x-1)(x+1)} = 8 \] Раскроем скобки в числителе: \[ x^2 - x + 4x - 4 - 10 = x^2 + 3x - 14 \] Уравнение получается: \[ \frac{x^2 + 3x - 14}{(x-1)(x+1)} = 8 \] Решаем относительное уравнение: \[ x^2 + 3x - 14 = 8(x^2 - 1) \] Раскрываем: \[ x^2 + 3x - 14 = 8x^2 - 8 \] Приводим уравнение к стандартному виду: \[ 0 = 8x^2 - x^2 - 3x + 14 - 8 \] \[ 0 = 7x^2 - 3x + 6 \] Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \[ D = (-3)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 6 \] \[ D = 9 - 168 = -159 \] Поскольку дискриминант отрицательный, вещественных решений нет. ### Уравнение 2: \[ \frac{x+1}{x-3} + \frac{12}{x+3} = \frac{24}{x^2-9} \] \(x^2 - 9\) разлагается как \((x-3)(x+3)\). Приводим дроби к общему знаменателю \((x-3)(x+3)\): \[ \frac{(x+1)(x+3) + 12(x-3)}{(x-3)(x+3)} = \frac{24}{(x-3)(x+3)} \] Сравниваем числители: \[ (x+1)(x+3) + 12(x-3) = 24 \] Раскроем скобки: \[ x^2 + 3x + x + 3 + 12x - 36 = 24 \] \[ x^2 + 16x - 33 = 24 \] Приводим к квадратному уравнению: \[ x^2 + 16x - 57 = 0 \] Решаем с помощью дискриминанта: \[ D = 16^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-57) \] \[ D = 256 + 228 = 484 \] \[ x = \frac{-16 \pm \sqrt{484}}{2} \] \[ x = \frac{-16 \pm 22}{2} \] \[ x_1 = \frac{6}{2} = 3, \quad x_2 = \frac{-38}{2} = -19 \] Корень \(x = 3\) не подходит, так как он обращает знаменатель в ноль. Поэтому решением является только \(x = -19\). ### Уравнение 3: \[ \frac{x-3}{x+2} + \frac{x-7}{2-x} = \frac{20}{x^2-4} \] \(x^2 - 4\) разлагается на \((x-2)(x+2)\). Преобразуем знаменатель во второй дроби: \(2-x = -(x-2)\), поэтому \(\frac{x-7}{2-x} = -\frac{x-7}{x-2}\). Приведем к общему знаменателю \( (x+2)(x-2)\): \[ \frac{(x-3)(x-2) - (x-7)(x+2)}{(x+2)(x-2)} = \frac{20}{(x+2)(x-2)} \] Сравниваем числители: \[ (x-3)(x-2) - (x-7)(x+2) = 20 \] Раскроем скобки: \[ x^2 - 2x - 3x + 6 - (x^2 + 2x - 7x - 14) = 20 \] Упростим: \[ x^2 - 5x + 6 - x^2 - 2x + 7x + 14 = 20 \] \[ 0x^2 + 0x + 20 = 20 \] Уравнение выполнено для всех \(x \neq \pm 2\). Таким образом, все такие \(x\), кроме \(x = 2\) и \(x = -2\), являются решениями.