прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом С внешний угол при вершине А равен 120°, АС+AB=18 см. Найдите АС и АВ.

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C, задано, что внешний угол при вершине A равен 120°. Это означает, что угол ABC равен 180° - 120° = 60°.

Обозначим:

• \( AB = c \) (гипотенуза),
• \( AC = b \),
• \( BC = a \).

По условию задачи, \( AC + AB = b + c = 18 \) см.

Также из соотношений в прямоугольном треугольнике можно записать следующее:

\[ \sin(60°) = \frac{BC}{AB} \quad \text{и} \quad \cos(60°) = \frac{AC}{AB}. \]

Значения тригонометрических функций для угла 60°: \[ \sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos(60°) = \frac{1}{2}. \]

Следовательно, можно записать:

1. \( a = c \cdot \sin(60°) = c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \),
2. \( b = c \cdot \cos(60°) = c \cdot \frac{1}{2} \).

Теперь подставим эти выражения в уравнение \( b + c = 18 \):

\[ c \cdot \frac{1}{2} + c = 18. \]

Упростим:

\[ c \cdot \frac{3}{2} = 18, \] \[ c = \frac{18 \cdot 2}{3} = 12 \text{ см}. \]

Теперь найдем \( b \):

\[ b = c \cdot \frac{1}{2} = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6 \text{ см}. \]

Итак, мы нашли \( AC \) и \( AB \):

• \( AC = b = 6 \) см,
• \( AB = c = 12 \) см.

Ответ: \( AC = 6 \) см, \( AB = 12 \) см.