В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C, задано, что внешний угол при вершине A равен 120°. Это означает, что угол ABC равен 180° - 120° = 60°.
Обозначим:
- ( AB = c ) (гипотенуза),
- ( AC = b ),
- ( BC = a ).
По условию задачи, ( AC + AB = b + c = 18 ) см.
Также из соотношений в прямоугольном треугольнике можно записать следующее:
[
\sin(60°) = \frac{BC}{AB} \quad \text{и} \quad \cos(60°) = \frac{AC}{AB}.
]
Значения тригонометрических функций для угла 60°:
[
\sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos(60°) = \frac{1}{2}.
]
Следовательно, можно записать:
- ( a = c \cdot \sin(60°) = c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} ),
- ( b = c \cdot \cos(60°) = c \cdot \frac{1}{2} ).
Теперь подставим эти выражения в уравнение ( b + c = 18 ):
[
c \cdot \frac{1}{2} + c = 18.
]
Упростим:
[
c \cdot \frac{3}{2} = 18,
]
[
c = \frac{18 \cdot 2}{3} = 12 \text{ см}.
]
Теперь найдем ( b ):
[
b = c \cdot \frac{1}{2} = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6 \text{ см}.
]
Итак, мы нашли ( AC ) и ( AB ):
- ( AC = b = 6 ) см,
- ( AB = c = 12 ) см.
Ответ:
( AC = 6 ) см, ( AB = 12 ) см.
